Номер 1067 — Геометрия 9 класс

Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах a⃗ = 5p⃗ + 2q⃗ и b⃗ = p⃗ − 3q⃗, если |p⃗| = 2√2, |q⃗| = 3 и угол между p⃗ и q⃗ равен 45°.

1. p⃗·q⃗ = 2√2·3·cos 45° = 6, p⃗² = 8, q⃗² = 9. Диагонали параллелограмма — векторы a⃗ + b⃗ и a⃗ − b⃗.
2. a⃗ + b⃗ = 6p⃗ − q⃗: |a⃗ + b⃗|² = 36·8 − 12·6 + 9 = 288 − 72 + 9 = 225, |a⃗ + b⃗| = 15.
3. a⃗ − b⃗ = 4p⃗ + 5q⃗: |a⃗ − b⃗|² = 16·8 + 40·6 + 25·9 = 128 + 240 + 225 = 593, |a⃗ − b⃗| = √593 ≈ 24,4.