Номер 1070 — Геометрия 9 класс

В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и BC = 8 см боковая сторона CD равна 4√7 см, а ∠ADC = 60°. Через вершину C проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции.

1. Высота трапеции h = CD·sin 60° = 4√7·√3/2 = 2√21 см. S = (16 + 8)/2·2√21 = 24√21 см² ≈ 110 см².
2. Пусть прямая l пересекает основание AD в точке K. Треугольник KCD имеет высоту h и площадь ½·KD·h; она должна равняться половине площади трапеции: ½·KD·2√21 = 12√21, KD = 12 см (K лежит на AD, так как 12 < 16).
3. По теореме косинусов в треугольнике KCD: CK² = CD² + KD² − 2·CD·KD·cos 60° = 112 + 144 − 48√7 = 256 − 48√7, CK = 4√(16 − 3√7) ≈ 11,4 см.