Условие
На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB₁A₂, BCC₁B₂, ACC₂A₁. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.
Разбор задания
Номер 789 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 15
Решение
- В параллелограмме ABB₁A₂: AA₂⃗ = BB₁⃗. В параллелограмме BCC₁B₂: BB₂⃗ = CC₁⃗. В параллелограмме ACC₂A₁: AA₁⃗ = CC₂⃗.
- A₁A₂⃗ = AA₂⃗ − AA₁⃗ = BB₁⃗ − CC₂⃗; B₁B₂⃗ = BB₂⃗ − BB₁⃗ = CC₁⃗ − BB₁⃗; C₁C₂⃗ = CC₂⃗ − CC₁⃗.
- Сумма: A₁A₂⃗ + B₁B₂⃗ + C₁C₂⃗ = BB₁⃗ − CC₂⃗ + CC₁⃗ − BB₁⃗ + CC₂⃗ − CC₁⃗ = 0⃗.
- Три вектора с нулевой суммой, отложенные последовательно друг за другом, образуют замкнутую ломаную — треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ (если эти векторы не коллинеарны, что для невырожденного расположения параллелограммов выполнено).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →