Условие
Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.
Разбор задания
Номер 788 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 15
Решение
- Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы. Выразим их через векторы сторон: AA₁⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗), BB₁⃗ = ½(BA⃗ + BC⃗), CC₁⃗ = ½(CA⃗ + CB⃗).
- Сложим: AA₁⃗ + BB₁⃗ + CC₁⃗ = ½(AB⃗ + BA⃗) + ½(AC⃗ + CA⃗) + ½(BC⃗ + CB⃗) = 0⃗.
- Отложим от произвольной точки P вектор PQ⃗ = AA₁⃗, от Q — вектор QR⃗ = BB₁⃗; тогда PR⃗ = AA₁⃗ + BB₁⃗ = −CC₁⃗, то есть RP⃗ = CC₁⃗. Точки P, Q, R не лежат на одной прямой (медианы не параллельны друг другу — они пересекаются в одной точке, не совпадая), значит PQR — треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →