Номер 816 — Геометрия 9 класс

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую AC в точке E. Точки M и K — основания перпендикуляров, проведённых из точек B и D к прямой AC. Найдите MK, если AE = a.

1. Обозначим AB = BC = c, AM = MC = m (M — середина AC, так как BM — высота равнобедренного треугольника). Пусть прямая ED пересекает AB в точке F. В треугольнике AFE отрезок AD — биссектриса и высота, значит треугольник равнобедренный: AF = AE = a, и D — середина FE.
2. Точка D лежит на BC и является серединой FE, поэтому F и E равноудалены от прямой BC (прямоугольные треугольники с гипотенузами FD и DE и вертикальными углами равны). Расстояние от F до BC относится к расстоянию от A до BC как BF : BA (подобные прямоугольные треугольники с общим углом B), расстояние от E до BC относится к расстоянию от A до BC как CE : CA. Отсюда BF/BA = CE/CA: (c − a)/c = (a − 2m)/(2m), то есть 2mc − 2ma = ac − 2mc, откуда a = 4mc/(c + 2m).
3. Пусть F₁ — проекция F на AC. DK ∥ FF₁ и D — середина FE, поэтому K — середина F₁E: AK = (AF₁ + AE)/2. Из подобия треугольников AF₁F и AMB: AF₁ = AF·AM/AB = am/c. Значит, AK = (am/c + a)/2 = a(c + m)/(2c).
4. MK = AK − AM = a(c + m)/(2c) − m. Подставим a = 4mc/(c + 2m): MK = 2m(c + m)/(c + 2m) − m = m(2c + 2m − c − 2m)/(c + 2m) = mc/(c + 2m) = a/4.