Номер 903 — Геометрия 9 класс

Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

1. 1) (kl)a⃗ = k(la⃗). Длины обоих векторов равны |k|·|l|·|a⃗|. Направление: если kl > 0, оба вектора сонаправлены с a⃗ (либо k, l > 0, либо k, l < 0 — тогда la⃗ ↑↓ a⃗ и k(la⃗) ↑↓ la⃗, то есть ↑↑ a⃗); если kl < 0 — оба противоположны a⃗; если kl = 0 — оба нулевые. Значит, векторы равны.
2. 2) (k + l)a⃗ = ka⃗ + la⃗. Если k и l одного знака, векторы ka⃗ и la⃗ сонаправлены, их сумма имеет длину (|k| + |l|)|a⃗| = |k + l|·|a⃗| и то же направление, что (k + l)a⃗. Если знаки разные, длина суммы равна ||k| − |l||·|a⃗| = |k + l|·|a⃗|, а направление совпадает с направлением слагаемого с большим модулем коэффициента — как у (k + l)a⃗.
3. 3) k(a⃗ + b⃗) = ka⃗ + kb⃗. Отложим OA⃗ = a⃗, AB⃗ = b⃗, тогда OB⃗ = a⃗ + b⃗. Отложим OA₁⃗ = ka⃗, A₁B₁⃗ = kb⃗. При k > 0 треугольники OAB и OA₁B₁ подобны с коэффициентом k (две стороны пропорциональны, угол между ними общий), поэтому OB₁⃗ = k·OB⃗ = k(a⃗ + b⃗). При k < 0 аналогично с противоположным направлением; при k = 0 обе части нулевые. Случай коллинеарных a⃗ и b⃗ проверяется по свойству 2).