Условие
Докажите, что если векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны, то: а) векторы a⃗ + b⃗ и a⃗ − b⃗ не коллинеарны; б) векторы 2a⃗ − b⃗ и a⃗ + b⃗ не коллинеарны; в) векторы a⃗ + b⃗ и a⃗ + 3b⃗ не коллинеарны.
Разбор задания
Номер 914 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 11. Соотношения между сторонами и углами · страница 39
Решение
- Если x⃗ и y⃗ коллинеарны и y⃗ ≠ 0⃗, то x⃗ = t·y⃗. Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно, поэтому из p·a⃗ + q·b⃗ = 0⃗ следует p = q = 0.
- а) a⃗ − b⃗ ≠ 0⃗ (иначе a⃗ = b⃗ — коллинеарны). Если a⃗ + b⃗ = t(a⃗ − b⃗), то (1 − t)a⃗ + (1 + t)b⃗ = 0⃗, откуда 1 − t = 0 и 1 + t = 0 — противоречие.
- б) Если 2a⃗ − b⃗ = t(a⃗ + b⃗), то (2 − t)a⃗ − (1 + t)b⃗ = 0⃗, t = 2 и t = −1 одновременно — противоречие.
- в) Если a⃗ + b⃗ = t(a⃗ + 3b⃗), то (1 − t)a⃗ + (1 − 3t)b⃗ = 0⃗, t = 1 и t = ⅓ — противоречие.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →