Олимпиада по физике 9 класс — школьный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ФИЗИКА. 2025–2026 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 9 КЛАСС КРИТЕРИИ И РЕШЕНИЯ

Груз над водой, груз в воде (10 баллов) Однородная доска длиной L = 1,20 м с прямоугольным сечением площадью S = 24 см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. Точка опоры находится на расстоянии 0,4L от левого конца доски. К доске на расстоянии 0,2L от того же конца подвешен алюминиевый груз. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 750 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3 . Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 . 1. Найдите массу доски M . Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла) 2. Определите массу груза m, при которой система находится в равновесии. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла) 3. Найдите силу реакции опоры N0 в этом положении. Ответ выразите в Н, округлив до десятых долей. (2 балла) 4. Груз полностью погружают в воду плотностью ρв = 1000 кг/м3 , при этом точку его подвеса смещают на расстояние ∆x, чтобы доска осталась в горизонтальном положении равновесия. Точка опоры не меняется. Определите расстояние ∆x. Ответ выразите в м, округлив до сотых долей. (2 балла) 5. Найдите отношение силы реакции опоры N1 в новом состоянии равновесия N1 к её значению N0 в первоначальном состоянии, . Ответ округлите до N0 тысячных долей. (2 балла) Ответы: 1) M = 2,16 кг; 2) m = 1,08 кг; 3) N0 = 32,4 Н; 4) 0,14 м; N1 5) = 0,877. N0

Груз над водой, груз в воде (10 баллов) Однородная доска длиной L = 1,30 м с прямоугольным сечением площадью S = 20 см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. Точка опоры находится на расстоянии 0,75L от левого конца доски. К доске на расстоянии 0,9L от того же конца подвешен алюминиевый груз. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 680 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3 . Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 . 1. Найдите массу доски M . Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла) 2. Определите силу реакции опоры N0 . Ответ выразите в Н, округлив до десятых долей. (2 балла) 3. Груз полностью погружают в масло плотностью ρм = 820 кг/м3 . На какое расстояние ∆x нужно перенести точку подвеса груза, чтобы восстановить равновесие? Точка опоры не меняется. Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей. (2 балла) 4. Найдите силу натяжения нити T , удерживающей груз, после полного погружения и смещения точки подвеса. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (2 балла) 5. Найдите отношение силы реакции опоры N1 после погружения и смещения N1 . Ответ округлите до к её значению N0 в первоначальном состоянии, N0 тысячных долей. (2 балла) Ответы: 1) M = 1,77 кг; 2) N0 = 47,1 Н; 3) ∆x = 0,085 м ; 4) T = 20,52 Н; N1 5) = 0,810. N0

Груз над водой, груз в воде (10 баллов) Однородная доска длиной L = 1,10 м с прямоугольным сечением площадью S = 18 см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. К доске на расстоянии 0,25L от левого конца подвешен алюминиевый груз массой m = 0,65 кг. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 700 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3 . Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 . Затем груз полностью погружают в воду плотностью ρв = 1000 кг/м3 , после чего для восстановления равновесия опору перемещают в новое положение. 1. Найдите массу доски M . Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла) 2. На каком расстоянии xоп от левого конца доски находится опора в первоначальном состоянии? Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей. (2 балла) 3. Найдите силу реакции опоры N0 в первоначальном состоянии. Ответ выразите в Н, округлив до десятых долей. (2 балла) 4. На каком расстоянии x′оп от левого конца доски будет находиться опора в новом положении? Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей. (2 балла) 5. Найдите отношение силы реакции опоры N1 в новом состоянии к её знаN1 . Ответ округлите до тысячных чению N0 в первоначальном состоянии, N0 долей. (2 балла) Ответы: 1) M = 1,39 кг; 2) xоп = 0,462 м; 3) N0 = 20,4 Н; 4) x′оп = 0,487 м; N′ 5) = 0,882. N0

Груз над водой, груз в воде (10 баллов) Однородная доска массой M = 1,80 кг и длиной L = 1,20 м уравновешена горизонтально на единственной опоре. Точка опоры находится на расстоянии 0,4L от левого конца доски. К доске на расстоянии 0,2L от того же конца подвешен алюминиевый груз. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 720 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3 . Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 . Затем груз полностью погружают в жидкость неизвестной плотности ρж и смещают точку подвеса груза на ∆x = 0,12 м влево вдоль доски, так что равновесие системы восстанавливается. 1. Найдите площадь поперечного сечения доски S. Ответ выразите в см2 , округлив до целого числа. (2 балла) 2. Определите массу груза m. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (2 балла) 3. Найдите плотность жидкости ρж . Ответ выразите в кг/м3 , округлив до целого числа. (2 балла) 4. Найдите силу реакции опоры N1 после погружения и смещения груза. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (2 балла) N1 , где N0 — реакция до погружеN0 ния. Ответ округлите до тысячных долей. (2 балла)

5. Найдите отношение сил реакции опоры

Ответы: 1) S = 21 см2 ; 2) m = 0,90 кг; 3) ρж = 900 кг/м3 ; 4) N1 = 24,00 Н; N1 5) = 0,889. N0

Груз над водой, груз в воде (10 баллов) Однородная доска длиной L и массой M = 2,16 кг с прямоугольным сечением площадью S = 24 см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. К доске на расстоянии 0,25L от левого конца подвешен алюминиевый груз массой m = 1,05 кг. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 750 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3 . Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 . После полного погружения груза в воду плотностью ρв = 1000 кг/м3 точку опоры переносят вдоль доски так, чтобы система вновь пришла в равновесие. 1. Найдите длину доски L. Ответ выразите в м, округлив до десятых долей. (2 балла) 2. На каком расстоянии xоп от левого конца доски находится опора в первоначальном состоянии? Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей. (2 балла) 3. Определите силу Архимеда FA , действующую на груз в воде. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (2 балла) 4. На каком расстоянии x′оп от левого конца доски будет находиться опора в новом положении? Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей. (2 балла) 5. Найдите отношение силы реакции опоры N1 после погружения к её значеN1 . Ответ округлите до сотых долей. нию N0 в первоначальном состоянии, N0 (2 балла) Ответы: 1) L = 1,2 м; 2) xоп = 0,502 м; 3) FA = 3,89 Н; 4) x′оп = 0,530 м; N1 5) = 0,88. N0

Типовое решение для сюжета «Груз над водой, груз в воде» Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах 1. Нахождение параметров доски M , S или L при известной ρд и одном из S, L, M . 2. Нахождение подвешенного груза m, обеспечивающей равновесие при заданных положениях опоры и точки подвеса (в воздухе). 3. Нахождение положения опоры xоп в воздухе при заданном m и координате точки подвеса xг . 4. Нахождение силы реакции опоры N0 в воздухе. 5. После полного погружения груза в жидкость плотности ρж : (a) нахождение Архимеда FA и натяжение нити T ; (b) нахождение смещения точки подвеса ∆x при фиксированной опоре для восстановления равновесия; (c) нахождение смещения опоры (или её новое положение) при фиксированной точке подвеса; N1 . (d) нахождение отношения реакций N0 6. Обратные постановки: по известному ∆x ; по N1 /N0 и т. п.

Модель, обозначения и базовые равенства Прямая тонкая однородная доска длиной L (сечением S, плотностью ρд ), центр масс доски находится в точке xцм = L2 . Опора находится в точке xоп . Точка подвеса груза — xг (после смещения — x′г ). Ускорение свободного падения равно g. Груз m — сплошной алюминиевый (ρал ), массой m, объём равен Vг = (при полном ρал погружении). Статика: для равновесия необходимо выполнение правила моментов. При этом удобно работать с плечами сил относительно точки опоры: dр = xцм − xоп ,

dг = xоп − xг ,

d′г = xоп − x′г .

Система в воздухе до погружения груза в жидкость 1. Связи между M , S, L: M = ρд SL,

S= 6

M , ρд L

L=

M ρд S

2. Неизвестная масса груза для равновесия (опора и точка подвеса заданы): m=M

|xцм − xоп | dр = M dг |xоп − xг |

3. Положение опоры при заданных M, m, xг : xоп =

M xцм + m xг M +m

4. Реакция опоры: N0 = (M + m)g

Полное погружение груза в жидкость (ρж), восстановление равновесия 1. Сила Архимеда и натяжение нити: FA = ρж g Vг = ρж g

m ρал

На груз, погружённый в жидкость, действуют сила тяжести mg и сила Архимеда FA , направленная противоположно. Со стороны нити на груз действует сила натяжения T . Условие равновесия груза: ⇒

T + FA = mg

T = mg − FA .

Эта сила T и приложена к доске в точке подвеса. 2. Реакция опоры после погружения. На доску действуют сила тяжести M g, сила натяжения нити T (приложенная в точке подвеса и направленная вниз) и сила реакции опоры N1 . Условие вертикального равновесия доски: N1 = M g + T = M g + (mg − FA ) = (M + m)g − FA . Отношение реакций: (M + m)g − FA N1 FA = =1− . N0 (M + m)g (M + m)g 3. Смещение точки подвеса при фиксированной опоре (xоп = const). Условие равенства моментов сил, действующих на доску, относительно точки опоры после погружения груза: M g · dр = T · d′г , где dр = |xцм − xоп |, d′г = |xоп − x′г |, а T = mg − FA . Подставляя выражение для T , получаем M g · dр = (mg − FA ) · d′г . 7

Отсюда находим новое плечо силы натяжения: d′г =

M · dр M g · dр = . mg − FA m − FgA

Рассмотрим два случая. Случай A. Груз и центр масс доски находятся по одну сторону от опоры (например, слева: xг < xоп , xцм < xоп ): M · |xцм − xоп | , m − FgA ! M · |xцм − xоп | xоп − − xг . m − FgA

x′г = xоп − d′г = xоп −

∆x = x′г − xг =

Случай B. Груз и центр масс доски находятся по разные стороны от опоры (например, xг < xоп , xцм > xоп ). Моменты сил направлены в разные стороны. Условие моментов (с учётом знаков) приведёт к тому, что новое плечо d′г может как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от соотношения сил. 4. Смещение/новое положение опоры при фиксированной точке подвеса (xг = const). Обозначим новое положение опоры x′оп . Условие равенства моментов сил, действующих на доску, относительно новой точки опоры: M g · (xцм − x′оп ) = T · (x′оп − xг ), где T = mg − FA . (Предполагается, что все точки лежат на одной прямой и xцм < x′оп < xг или наоборот.) Решаем уравнение относительно x′оп : M g · xцм − M g · x′оп = T · x′оп − T · xг , M g · xцм + T · xг = (M g + T ) · x′оп , x′оп =

M g · xцм + T · xг M g · xцм + (mg − FA ) · xг . = Mg + T M g + (mg − FA )

Обратные задачи 1. По известному смещению точки подвеса ∆x (при фиксированной опоре) найти ρж . Пусть d′г = |xоп − x′г |, где x′г = xг + ∆x. Из правила моментов: M g · dр = T · d′г = (mg − FA ) · d′г . Выражаем FA : mg − FA =

M g · dр d′г

⇒ 8

FA = mg −

M g · dр . d′г

С другой стороны, FA = ρж gVг = ρж g ρmал . Приравниваем эти выражения ρж g

m M g · dр = mg − . ρал d′г

Сокращаем g и выражаем ρж :     M · dр M · |xцм − xоп | ρж = ρал 1 − = ρал 1 − . m · d′г m · |xоп − (xг + ∆x)| 2. По известному отношению реакций для отношения реакций получаем N1 FA =1− N0 (M + m)g

N1 восстановить FA и ρж . Из формулы N0   N1 FA = 1 − (M + m)g. N0

Зная FA = ρж gVг = ρж g ρmал , находим FA ρал · = ρж = g m

  N1 ρал 1− (M + m) · . N0 m

Оптимальный маршрут туриста (10 баллов) Железнодорожные станции A, B, C и D связаны несколькими маршрутами. От станции A до станции B с промежуточной остановкой на станции C ходит поезд «Аист». Он отправляется от A с интервалами 2 ч, начиная с 5:30, а весь маршрут занимает у «Аиста» 280 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль». Интервалы его следования составляют 50 минут, первый «Журавль» отправляется в 5:50, а весь маршрут занимает у него 240 минут. Временем остановок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от скорости «Аистов». Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Беркут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты» отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут между C и D занимает у них 20 минут. В приведённой ниже таблицы указаны расстояния между станциями и стоимость проезда от одной до другой. Участок Длина, км Стоимость, руб AC 180 140 CB 270 210 AD 220 320 DB 190 120 CD 60 80 Турист прибыл на станцию A в 9:20, ему нужно добраться до станции B. Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь. 6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в рублях, округлив до целого числа. (2 балла) 7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (2 балла) 8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла) 9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых маршрутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (3 балла) Ответы: 6) 340 руб; 7) 410 мин; 8) 80,5 км/ч; 9) 280 мин. 10

Оптимальный маршрут туриста (10 баллов) Железнодорожные станции A, B, C и D связаны несколькими маршрутами. От станции A до станции B с промежуточной остановкой на станции C ходит поезд «Аист». Он отправляется от A с интервалами 2 ч 20 мин, начиная с 6:00, а весь маршрут занимает у «Аиста» 300 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль». Интервалы его следования составляют 45 минут, первый «Журавль» отправляется в 6:15, а весь маршрут занимает у него 255 минут. Временем остановок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от скорости «Аистов». Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Беркут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты» отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут между C и D занимает у них 25 минут. В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стоимость проезда от одной до другой. Участок Длина, км Стоимость, руб AC 160 130 CB 260 220 AD 230 310 DB 180 130 CD 55 75 Турист прибыл на станцию A в 10:40, ему нужно добраться до станции B. Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь. 6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в рублях, округлив до целого числа. (2 балла) 7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (2 балла) 8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла) 9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых маршрутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (3 балла) Ответы: 6) 335 руб; 7) 440 мин; 8) 74,3 км/ч; 9) 260 мин. 11

Оптимальный маршрут туриста (10 баллов) Железнодорожные станции A, B, C и D связаны несколькими маршрутами. От станции A до станции B с промежуточной остановкой на станции C ходит поезд «Аист». Он отправляется от A с интервалами 1 ч 50 мин, начиная с 5:45, а весь маршрут занимает у «Аиста» 320 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль». Интервалы его следования составляют 55 минут, первый «Журавль» отправляется в 6:10, а весь маршрут занимает у него 280 минут. Временем остановок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от скорости «Аистов». Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Беркут». От станции C в направления D и от станции D в направлении C «Беркуты» отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут между C и D занимает у них 15 минут. В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стоимость проезда от одной до другой. Участок Длина, км Стоимость, руб AC 170 150 CB 250 200 AD 240 330 DB 170 110 CD 65 85 Турист прибыл на станцию A в 9:15, ему нужно добраться до станции B. Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь. 6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в рублях, округлив до целого числа. (2 балла) 7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (2 балла) 8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла) 9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых маршрутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (3 балла) Ответы: 6) 345 руб; 7) 440 мин; 8) 75,7 км/ч; 9) 315 мин. 12

Оптимальный маршрут туриста (10 баллов) Железнодорожные станции A, B, C и D связаны несколькими маршрутами. От станции A до станции B с промежуточной остановкой на станции C ходит поезд «Аист». Он отправляется от A с интервалами 2 ч 10 мин, начиная с 6:20, а весь маршрут занимает у «Аиста» 310 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль». Интервалы его следования составляют 40 минут, первый «Журавль» отправляется в 6:40, а весь маршрут занимает у него 330 минут. Временем остановок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от скорости «Аистов». Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Беркут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты» отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут между C и D занимает у них 20 минут. В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стоимость проезда от одной до другой. Участок Длина, км Стоимость, руб AC 160 140 CB 240 190 AD 210 320 DB 160 120 CD 70 90 Турист прибыл на станцию A в 9:10, ему нужно добраться до станции B. Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь. 6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в рублях, округлив до целого числа. (2 балла) 7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (2 балла) 8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла) 9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых маршрутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (3 балла) Ответы: 6) 330 руб; 7) 530 мин; 8) 58,9 км/ч; 9) 340 мин. 13

Оптимальный маршрут туриста (10 баллов) Железнодорожные станции A, B, C и D связаны несколькими маршрутами. От станции A до станции B с промежуточной остановкой на станции C ходит поезд «Аист». Он отправляется от A с интервалами 1 ч 45 мин, начиная с 6:00, а весь маршрут занимает у «Аиста» 295 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль». Интервалы его следования составляют 35 минут, первый «Журавль» отправляется в 6:15, а весь маршрут занимает у него 265 минут. Временем остановок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от скорости «Аистов». Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Беркут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты» отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут между C и D занимает у них 18 минут. В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стоимость проезда от одной до другой: Участок Длина, км Стоимость, руб AC 150 135 CB 230 195 AD 200 310 DB 150 115 CD 75 95 Турист прибыл на станцию A в 8:50, ему нужно добраться до станции B. Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь. 6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в рублях, округлив до целого числа. (2 балла) 7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (2 балла) 8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла) 9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых маршрутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа. (3 балла) Ответы: 6) 330 руб; 7) 440 мин; 8) 68,9 км/ч; 9) 285 мин. 14

«Оптимальный маршрут туриста» (типовое решение данной группы задач) Есть четыре станции A, B, C, D. Поезд «Аист» ходит по ветке A → C → B с периодом PA (интервал между отправлениями из A) и полным временем в пути TACB . Поезд «Журавль» ходит по ветке A → D → B с периодом PJ и полным временем TADB . Электричка «Беркут» ходит между C и D в обе стороны каждые 30 мин, время в пути TCD . Даны длины участков и цены на каждый участок. Турист приходит на станцию A в момент T0 . Временем пересадок пренебрегаем. Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах 6. Минимальная стоимость поездки из A в B. 7. Минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая время ожидания). 8. Средняя скорость на маршруте A → D → C → B, считая всё время с момента прихода туриста на A. 9. Минимально возможное время пути из A в B среди всех маршрутов (с ожиданиями). Решение 1. Стоимость Складываем цены по четырём маршрутам и берём минимум: ACB: CAC + CCB , ADB: CAD + CDB , ACDB: CAC + CCD + CDB , ADCB: CAD + CCD + CCB . 2. Как найти время на каждом участке у «Аиста» и «Журавля» Скорость поезда на своём длинном маршруте постоянна, поэтому времена на отрезках пропорциональны их длинам: AD , tDB = TADB − tAD ; AD + DB AC tAC = TACB · , tCB = TACB − tAC . AC + CB Эти четыре величины дальше используем в расчётах ожиданий и проездов. tAD = TADB ·

3. Как искать ближайший поезд/электричку после заданного времени • Если известно время первого отправляющегосяя рейса Tstart и период P , то расписание имеет вид Tstart ,

Tstart + P,

Tstart + 2P, . . .

Берём первый момент, который не меньше текущего времени. 15

• Удобно переводить время в минуты от полуночи, чтобы проще сравнивать и добавлять интервалы. 4. Когда «Аист» проходит C, а «Журавль» — D • Если «Аист» вышел из A в момент TA , то в момент времени tAC минут он будет в C, то есть в момент времени TA + tAC . Значит, моменты прохода C — это все TA + tAC для отправлений TA по расписанию «Аиста». • Аналогично «Журавль», вышедший из A в момент TJ , пройдёт D в TJ + tAD . 5. Маршрут A → D → C → B: как посчитать полное время Начиная с момента прихода T0 : (a) Ждём ближайший «Журавль» из A ⇒ получаем время его отправлеdep . ния TAD (b) Едем по маршруту A → D за время tAD ⇒ прибываем на станцию D dep в моментTD = TAD + tAD . (c) Ждём ближайший «Беркут», следующий из D в C ⇒ отправляемся в dep dep момент TDC , приезжаем на станцию C в момент TC = TDC + TCD . (d) Ждём ближайший проход «Аиста» через C (см. п. 4) ⇒ получаем моpass мент TCB . (e) Едем C → B время tCB ⇒ прибываем на станцию B через время TB = pass TCB + tCB . Полное время маршрута в минутах: dep dep pass tполн = (TAD − T0 ) + tAD + (TDC − TD ) + TCD + (TCB − TC ) + tCB .

6. Средняя скорость на A → D → C → B. Полный путь: S = AD + DC + CB. Полное время в часах: th =

tполн . 60

Средняя скорость: vср =

S . th

7. Минимально возможное время из A в B среди всех маршрутов Считаем полные времена для четырёх вариантов и берём минимум: • ADB: ждём ближайший «Журавль» из A, затем добавляем TADB . • ACB: ждём ближайший «Аист» из A, затем добавляем TACB . 16

• ACDB: едем по маршруту A → C на «Аисте» (tAC ); далее на ближайшем «Беркуте» по маршруту C → D (TCD ); далее на ближайшем «Журавлу» через D (см. п. 4), затем по маршруту D → B за время tDB . • ADCB: зеркально к предыдущему, но сначала едем на «Журавлу» до станции D, потом на «Беркуте» по маршруту D → C, затем на «Аисте» через C далее по участку C → B. Все ожидания ищем правилом из п. 3; времена на участках берём из п. 2; моменты проходов — из п. 4.

17

Теплообмен со средой (10 баллов) Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью C = 30,0 Дж/◦ C находится в тепловом равновесии с налитой в него водой массой mв = 300 г при температуре tв = 45◦ C. В калориметр помещают лёд массой mл = 200 г с температурой tл = −10◦ C. Удельная теплоёмкость воды составляет cв = 4,2 кДж/(кг ·◦ C), удельная теплоёмкость льда — cл = 2,1 кДж/(кг·◦ C), удельная теплота плавления льда — λ = 330 кДж/кг. 10. Найдите массу растаявшего льда. Ответ выразите в граммах, округлив до целых. (3 балла) 11. С помощью встроенного нагревателя к содержимому калориметра подводят количество теплоты Q = 35 кДж. Определите температуру калориметра θ1 после установления равновесия. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (3 балла) 12. Теплоизоляция калориметра с водой нарушается, так что мощность теплообмена P между калориметром и окружающей средой определяется по формуле P = K · |θ1 − tокр |, где tокр = 20◦ C — температура окружающей среды, K = 85 Дж/(мин ·◦ C). Определите температуру калориметра θ2 спустя время ∆τ = 2 мин после нарушения теплоизоляции. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (4 балла) Ответы: 10) mпл = 163 г; 11) θ1 = 10,7◦ C; 12) θ2 = 11,4◦ C.

18

Теплообмен со средой (10 баллов) Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью C = 25,0 Дж/◦ C находится в тепловом равновесии с налитой в него водой массой mв = 300 г при температуре tв = 45◦ C. В калориметр помещают лёд массой mл = 250 г при температуре tл = 0◦ C. Удельная теплоёмкость воды составляет cв = 4,2 кДж/(кг·◦ C), удельная теплота плавления льда — λ = 330 кДж/кг. 10. Найдите массу растаявшего льда. Ответ выразите в граммах, округлив до целых. (3 балла) 11. С помощью встроенного нагревателя к содержимому калориметра подводят количество теплоты Q = 26 кДж. Определите температуру калориметра θ1 после установления равновесия. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (3 балла) 12. Теплоизоляция калориметра с водой нарушается, так что мощность теплообмена P между калориметром и окружающей средой определяется по формуле P = K · |θ1 − tокр |, где tокр = 25◦ C — температура окружающей среды, K = 85 Дж/(мин ·◦ C). Определите температуру калориметра θ2 спустя время ∆τ = 2 мин после нарушения теплоизоляции. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (4 балла) Ответы: 10) mпл = 175 г; 11) θ1 = 0,6◦ C; 12) θ2 = 2,3◦ C.

19

Теплообмен со средой (10 баллов) Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью C = 25,0 Дж/◦ C находится в тепловом равновесии с налитой в него водой массой mв = 300 г при температуре tв = 60◦ C. В калориметр помещают лёд массой mл = 150 г при температуре tл = 0◦ C. Удельная теплоёмкость воды составляет cв = 4,2 кДж/(кг·◦ C), удельная теплота плавления льда — λ = 330 кДж/кг. 10. Найдите массу растаявшего льда. Ответ выразите в граммах, округлив до целых. (3 балла) 11. С помощью встроенного нагревателя к содержимому калориметра подводят количество теплоты Q = 40 кДж. Определите температуру калориметра θ1 после установления равновесия. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (3 балла) 12. Теплоизоляция калориметра с водой нарушается, так что мощность теплообмена P между калориметром и окружающей средой определяется по формуле P = K · |θ1 − tокр |, где tокр = 20◦ C — температура окружающей среды, K = 85 Дж/(мин ·◦ C). Определите температуру калориметра θ2 спустя время ∆τ = 2 мин после нарушения теплоизоляции. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (4 балла) Ответы: 10) mпл = 150 г; 11) θ1 = 35,3◦ C; 12) θ2 = 33,9◦ C.

20

Теплообмен со средой (10 баллов) Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью C = 35,0 Дж/◦ C находится в тепловом равновесии с налитой в него водой массой mв = 300 г при температуре tв = 45◦ C. В калориметр помещают лёд массой mл = 190 г при температуре tл = −15◦ C. Удельная теплоёмкость воды составляет cв = 4,2 кДж/(кг ·◦ C), удельная теплоёмкость льда — cл = 2,1 кДж/(кг·◦ C), удельная теплота плавления льда — λ = 330 кДж/кг. 10. Найдите массу растаявшего льда. Ответ выразите в граммах, округлив до целых. (3 балла) 11. Какое количество теплоты Q нужно подвести к системе, чтобы в калориметре осталась только вода при 0◦ C? Если тепло отводится, укажите отрицательное значение. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 12. После того, как к калориметру подвели теплоту Q из предыдущего вопроса, теплоизоляция нарушается. Мощность теплообмена P между калориметра и окружающей средой определяется по формуле P = K ·|θ1 −tокр |, где tокр = 20◦ C — температура окружающей среды, K = 85 Дж/(мин·◦ C). Определите температуру калориметра θ2 спустя время ∆τ = 2 мин после нарушения теплоизоляции. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (4 балла) Ответы: 10) mпл = 158 г; 11) Q = 10,41 кДж; 12) θ2 = 1,6◦ C.

21

Теплообмен со средой (10 баллов) Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью C = 35,0 Дж/◦ C находится в тепловом равновесии с налитой в него водой массой mв = 300 г при температуре tв = 50◦ C. В калориметр помещают лёд массой mл = 100 г при температуре tл = 0◦ C. Удельная теплоёмкость воды составляет cв = 4,2 кДж/(кг·◦ C), удельная теплота плавления льда — λ = 330 кДж/кг. 10. Найдите массу растаявшего льда. Ответ выразите в граммах, округлив до целых. (3 балла) 11. С помощью встроенного нагревателя к содержимому калориметра подводят количество теплоты Q = 20 кДж. Определите температуру калориметра θ1 после установления равновесия. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (3 балла) 12. Теплоизоляция калориметра с водой нарушается, так что мощность теплообмена P между калориметром и окружающей средой определяется по формуле P = K · |θ1 − tокр |, где tокр = 0◦ C — температура окружающей среды, K = 85 Дж/(мин ·◦ C). Определите температуру калориметра θ2 спустя время ∆τ = 2 мин после нарушения теплоизоляции. Ответ выразите в ◦ C, округлив до десятых долей. (4 балла) Ответы: 10) mпл = 100 г; 11) θ1 = 30,2◦ C; 12) θ2 = 27,2◦ C.

22

Типовое решение для сюжета «Теплообмен со средой: вода + лёд + калориметр» Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах 1. Масса расплавившегося льда после смешивания воды с льдом в калориметре. Определение режима равновесия: частичное плавление при 0◦ C или полное плавление при температуре выше 0◦ C. 2. Температура системы после подвода заданного количества теплоты Q нагревателем. Порядок расходования Q: доплавление оставшегося льда → нагрев воды и калориметра. 3. «Пороговые» вопросы: сколько тепла нужно отвести, чтобы получить только воду при 0◦ C (или остаться при 0◦ C с частью льда). 4. Изменение температуры за малый интервал времени при нарушении теплоизоляции, когда мощность теплообмена задана законом P = K |θ − tокр | (При этом берем θ из предыдущего пункта как константу на коротком промежутке), и требуется выразить новую температуру через ∆τ . Обозначения mв , tв , cв — масса, температура и удельная теплоёмкость воды, mл , tл , cл , λ — масса, температура, удельная теплоёмкость и теплота плавления льда C — теплоёмкость калориметра, tокр — температура среды, Q — тепло нагревателя (со знаком: Q > 0 — подводим, Q < 0 — отводим), K — коэффициент теплопередачи в формуле P = K|θ − tокр |, ∆τ — длительность теплообмена с окружающей средой. Шаг 1. Смешивание воды и льда (без нагревателя, сосуд теплоизолирован). Эффективная теплоёмкость «вода + калориметр»: C0 = mв cв + C

[кДж/◦ C].

Доступная теплота при охлаждении воды и калориметра до 0◦ C: Qдост = C0 (tв − 0). Теплота на доведение льда до 0◦ C (если tл < 0◦ C): Qнаг = mл cл (0 − tл ), 23

Если tл = 0◦ C, то Qнаг = 0. Оставшаяся на плавление теплота: Qпл, доступ = Qдост − Qнаг . Случай A: 0 ≤ Qпл, доступ < mл λ (частичное плавление). Тогда равновесная температура составляет θ = 0◦ C, масса расплавившегося льда равна mпл =

Qпл, доступ , λ

mост = mл − mпл .

Случай B: Qпл, доступ ≥ mл λ (полное плавление). Вся масса льда тает: mпл = mл . Избыток теплоты после плавления составляет Qизб = Qпл, доступ − mл λ. Теперь нагреваются вода и калориметр с полной массой воды m∗в = mв + mл : C1 = m∗в cв + C,

θ=

Qизб (> 0◦ C). C1

Шаг 2. Подвод тепла нагревателем Q и температура θ1 . Если после шага 1 остался лёд (θ = 0◦ C, mост > 0), то Q1 = mост λ. Если 0 ≤ Q < Q1 , идёт только плавление: θ1 = 0◦ C,

mост = mост −

Q . λ

Если Q ≥ Q1 , сначала доплавляется лёд, затем смесь нагревается: Q2 = Q − Q1 ,

C1 = (mв + mл )cв + C,

θ1 = 0◦ C +

Q2 . C1

Если после шага 1 весь лёд растаял (θ > 0◦ C): C1 = (mв + mл )cв + C,

θ1 = θ +

Q . C1

Шаг 2 ’ (пороговый вопрос). Сколько тепла нужно, чтобы получить только воду при 0◦ C? ( mост λ, если после первого шагаθ = 0◦ C, mост > 0 (тепло подводим); Qнуж = − C1 θ, если после первого шага θ > 0◦ C (тепло отводим, Q < 0).

24

Шаг 3. Кратковременный теплообмен с окружающей средой (∆τ мало). По условию мощность теплообмена берут по начальной разности температур: P = K |θ1 − tокр | (считаем постоянной на интервале ∆τ ). Теплота, полученная системой (со знаком), составляет ( + P ∆τ, θ1 < tокр (среда нагревает систему); Qсист = − P ∆τ, θ1 > tокр (система охлаждается). Если весь лёд растаял, то θ2 = θ1 +

Qсист . C1

Если при θ1 = 0◦ C лёд ещё есть, то при tокр > 0◦ C поступающее тепло сначала плавит лёд и масса образовавшейся из него воды определяется как   P ∆τ ′ . m = min mост , λ ′

Если P ∆τ > λmост , то остаток тепла нагревает воду: ′

P ∆τ − λmост θ2 = 0 C + ; C1 ◦

иначе остаёмся при θ2 = 0◦ C с уменьшенным количеством льда. При tокр < 0◦ C возможна обратная картина: тепло уходит и часть воды может кристаллизоваться на величину mкрист = min{mв + mл − mлёд , |Qсист |/λ}.

25

Четыре резистора (10 баллов) В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов R1 = 120 Ом, R2 = 180 Ом, R3 = 75 Ом и напряжение идеального источника U = 12 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт). 13. Найдите сопротивление R4 . Ответ выразите в омах, округлив до десятых. (2 балла) 14. Определите ток I через резистор R3 . Ответ выразите в мА, округлив до целого. (2 балла) 15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла) 16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе укажите максимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла)

Ответы: 13) 112,5 Ом; 14) 64 мА; 15) 1,25 Вт; 16) 0,46 Вт.

26

Четыре резистора (10 баллов) В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов R1 = 100 Ом, R2 = 250 Ом, R4 = 200 Ом и напряжение идеального источника U = 18 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт). 13. Найдите сопротивление R3 . Ответ выразите в омах, округлив до десятых. (2 балла) 14. Определите ток I через резистор R3 . Ответ выразите в мА, округлив до целого. (2 балла) 15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла) 16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе укажите минимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла)

Ответы: 13) 80,0 Ом; 14) 64 мА; 15) 2,08 Вт; 16) 0,26 Вт.

27

Четыре резистора (10 баллов) В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов R1 = 150 Ом, R3 = 82 Ом, R4 = 120 Ом и напряжение идеального источника U = 24 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт). 13. Найдите сопротивление R2 . Ответ выразите в омах, округлив до десятых. (2 балла) 14. Определите ток I через резистор R1 . Ответ выразите в мА, округлив до целого. (2 балла) 15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла) 16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе укажите минимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла)

Ответы: 13) 219,5 Ом; 14) 65 мА; 15) 4,41 Вт; 16) 0,63 Вт.

28

Четыре резистора (10 баллов) В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов R2 = 220 Ом, R3 = 68 Ом, R4 = 150 Ом и напряжение идеального источника U = 15 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт). 13. Найдите сопротивление R1 . Ответ выразите в омах, округлив до десятых. (2 балла) 14. Определите ток I через резистор R4 . Ответ выразите в мА, округлив до целого. (2 балла) 15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла) 16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе укажите максимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла)

Ответы: 13) 99,7 Ом; 14) 69 мА; 15) 1,74 Вт; 16) 0,71 Вт.

29

Четыре резистора (10 баллов) В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов R1 = 200 Ом, R2 = 300 Ом, R4 = 150 Ом. Ток через резистор R1 равен 0,10 А. Напряжение источника идеальное. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт). 13. Найдите напряжение источника U . Ответ выразите в вольтах, округлив до десятых. (2 балла) 14. Найдите ток I через резистор R4 . Ответ выразите в мА, округлив до целого. (2 балла) 15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла) 16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе укажите максимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах, округлив до сотых. (3 балла)

Ответы: 13) 50,0 В; 14) 200 мА; 15) 15,00 Вт; 16) 6,00 Вт.

30

Типовое решение для сюжета «Четыре резистора» Уникальные вопросы, встречающиеся в задачах 1. Определение неизвестного сопротивления по условию нулевого тока через гальванометр (баланс моста). 2. Нахождение токов в заданных резисторах. 3. Эквивалентное сопротивление всей схемы и полная мощность, выделяемая в цепи. 4. Мощности на каждом резисторе; выбор максимальной/минимальной из них. 5. Восстановление напряжения источника по известному току в одной из ветвей или через один из резисторов.

Модель и обозначения Схема — мост Уитстона с нулевым током в гальванометре G. Верхний узел — плюс источника с напряжением U , нижний — минус. Левая ветвь — последовательно R1 и R2 ; правая ветвь — последовательно R3 и R4 . Обозначим RA = R1 + R2 ,

RB = R3 + R4 .

Найдем токи по ветвям (они одинаковы в последовательно соединённых резисторах своей ветви): IA =

U (через R1 , R2 ), RA

IB =

U (через R3 , R4 ). RB

Нулевой ток в G означает равенство потенциалов средних точек ветвей.

Баланс моста: как найти неизвестный резистор Условие нулевого тока через G (условие баланса) эквивалентно следующему R1 R3 = R2 R4

⇐⇒

R1 R4 = R2 R3 .

Отсюда мгновенно выражаются любые неизвестные: R4 =

R2 R3 , R1

R3 =

R1 R4 , R2

R2 =

R1 R4 , R3

R1 =

R2 R3 . R4

При балансе ветви электрически независимы (перемычка не передаёт ток), поэтому их можно считать просто двумя последовательными цепями, подключёнными параллельно к одному источнику. 31

Токи, напряжения, эквивалентное сопротивление Токи по ветвям:

U , R1 + R2 Токи через отдельные резисторы:

U . R3 + R4

IA =

IB =

IR1 = IR2 = IA ,

IR3 = IR4 = IB .

Падения напряжения: UR1 = IA R1 ,

UR2 = IA R2 ,

UR3 = IB R3 ,

UR4 = IB R4 ,

при этом UR1 + UR2 = UR3 + UR4 = U . Эквивалентное сопротивление всей цепи (параллель RA и RB ): RΣ = Полная мощность:

(R1 + R2 )(R3 + R4 ) RA RB = . RA + RB R1 + R2 + R3 + R4 U2 PΣ = = U (IA + IB ). RΣ

Мощности на каждом резисторе; как найти максимум/минимум Мощность на резисторе R в своей ветви составляет P = I 2 R. Тогда P1 = IA2 R1 ,

P2 = IA2 R2 ,

P3 = IB2 R3 ,

P4 = IB2 R4 .

Полезные соотношения при балансе: R1 P1 = , P2 R2

P3 R3 = . P4 R4

Чтобы выбрать максимальную/минимальную мощность, достаточно сравнить два значения из левой ветви {IA2 R1 , IA2 R2 } и два из правой {IB2 R3 , IB2 R4 }, а затем сравнить наибольшие (или наименьшие) из ветвей между собой. Удобно сначала вычислить IA и IB , затем перемножить на соответствующие сопротивления. Проверка: P1 + P2 + P3 + P4 = PΣ .

Восстановление напряжения источника по известному току Если известен, например, ток через R1 , то это ток всей левой ветви: IR1 = IA . Напряжение источника составляет U = IA (R1 + R2 ). Аналогично если известен ток через R4 (правую ветвь), то U = IB (R3 +R4 ). Далее действуют общие формулы для мощностей и эквивалентного сопротивления. 32

Катер и плот (10 баллов) Между пунктами A и B, находящимися на одной реке на расстоянии S = 18 км, курсирует катер, мгновенно разворачиваясь без остановок в пунктах. В тот момент, когда катер выходит из пункта A, вместе с ним также отправляется плот в направлении пункта B. Скорость катера относительно воды равна Vк = 21 км/ч, скорость течения реки равна Vт = 3 км/ч. 17. На каком расстоянии d1 от A произойдёт первая встреча? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. На каком расстоянии d2 от A произойдёт вторая встреча? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 19. Сколько раз встретятся катер и плот, не считая встречу в начальный момент времени? (3 балла) 20. Каково максимальное расстояние Lmax между катером и плотом до прибытия плота в пункт B? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (3 балла) Ответы: 17) d1 = 4.5 км; 18) d2 = 6.0 км; 19) 6; 20) Lmax = 15.8 км.

33

Катер и плот (10 баллов) Между пунктами A и B на одной реке, удалёнными друг от друга на S = 24 км, непрерывно курсирует катер, мгновенно разворачиваясь без остановок в пунктах. В момент выхода катера из A одновременно отправляется плот в сторону B. Скорость катера относительно воды составляет Vк = 18 км/ч, скорость течения реки — Vт = 3 км/ч. 17. Через какое время от начала движения произойдёт первая встреча? Ответ выразите в часах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Через какое время от начала движения произойдёт вторая встреча? Ответ выразите в часах, округлив до десятых долей. (2 балла) 19. Сколько раз встретятся катер и плот, не считая встречу в начальный момент времени? (3 балла) 20. Каково максимальное расстояние Lmax между катером и плотом до прибытия плота в пункт B? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (3 балла) Ответы: 17) t1 = 2,3 ч; 18) t2 = 3,2 ч; 19) N = 5; 20) Lmax = 20,6 км.

34

Катер и плот (10 баллов) Между пунктами A и B, находящимися на одной реке на расстоянии S = 30 км, непрерывно курсирует катер, мгновенно разворачиваясь без остановок в пунктах. В момент выхода катера из A одновременно с ним отправляется по течению плот в направлении B. Скорость катера относительно воды составляет Vк = 21 км/ч, скорость течения реки — Vт = 3 км/ч. 17. На каком расстоянии от B произойдёт первая встреча? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. На каком расстоянии от B произойдёт третья встреча? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 19. Сколько раз встретятся катер и плот, не считая встречу в начальный момент времени? (3 балла) 20. Каково максимальное расстояние Lmax между катером и плотом до прибытия плота в пункт B? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (3 балла) Ответы: 17) d1 = 22,5 км; 18) d3 = 15,0 км; 19) N = 6; 20) Lmax = 26,3 км.

35

Катер и плот (10 баллов) Между пунктами A и B находящимися на одной реке на расстоянии S = 36 км, непрерывно курсирует катер, мгновенно разворачиваясь без остановок в пунктах. В момент выхода катера из A вместе с ним отправляется по течению плот к пункту B. Скорость течения реки составляет Vт = 4 км/ч. Известно, что первая встреча катера с плотом произошла на расстоянии d1 = 9 км от пункта A. 17. Определите скорость катера Vк относительно воды. Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. На каком расстоянии от пункта A произошла вторая встреча? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 19. Сколько раз встретятся катер и плот, не считая встречу в начальный момент времени? (3 балла) 20. Каково максимальное расстояние Lmax между катером и плотом до прибытия плота в пункт B? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (3 балла) Ответы; 17) Vк = 28,0 км/ч; 18) d2 = 12,0 км; 19) N = 6; 20) Lmax = 31,5 км.

36

Катер и плот (10 баллов) Между пунктами A и B, находящимися на одной реке на расстоянии S = 20 км, непрерывно курсирует катер, мгновенно разворачиваясь без остановок в пунктах. В момент выхода катера из A одновременно с ним отправляется плот по течению к B. Скорость катера относительно воды составляет Vк = 28 км/ч, скорость течения реки — Vт = 4 км/ч. 17. На каком расстоянии от A произойдёт третья встреча? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Через какое время от начала движения произойдёт четвёртая встреча? Ответ выразите в часах, округлив до десятых долей. (2 балла) 19. Сколько раз встретятся катер и плот, не считая встречу в начальный момент времени? (3 балла) 20. Каково максимальное расстояние Lmax между катером и плотом до прибытия плота в пункт B? Ответ выразите в километрах, округлив до десятых долей. (3 балла) Ответы: 17) d3 = 10,0 км; 18) t4 = 3,3 ч; 19) N = 6; 20) Lmax = 17,5 км.

37

Типовое решение для сюжета «Катер и плот» 1. Найти первую/вторую/третью встречу: момент времени от старта или место встречи (расстояние от A или от B). 2. Определить, сколько встреч произойдёт до прихода плота в пункт B. 3. Найти максимальное расстояние Lmax между катером и плотом до момента прихода плота в B. 4. Обратная задача: по известному месту первой встречи d1 найти скорость катера Vк .

Обозначения и модель Ось x направлена от A к B, x = 0 — пункт A, x = S — пункт B. v↓ = Vк +Vт (катер вниз по течению),

v↑ = Vк −Vт > 0 (катер вверх по течению),

Плот идёт равномерно: xп (t) = Vт t. Время прихода плота в B составляет tB =

S . Vт

Движение катера — «пила» из отрезков: S 0≤t≤ ; v↓   S S S S , (1-й подъём) xк (t) = S − v↑ t − ≤t≤ + ; v↓ v↓ v↓ v↑ S S далее период T = + повторяется. v↓ v↑ (1-й спуск) xк (t) = v↓ t,

1. Первая и вторая встречи: вывод формул Будем называть «спуском» движение катера по течению, а «подъемом» — движение против течения.

(а) Первая встреча: t1 и d1 Первая нетривиальная встреча происходит во время движения катера против течения (при движении по течению они находятся в одной точке лишь в момент старта). Решаем уравнение xк (t) = xп (t) на участке подъёма:   S S − v↑ t − = Vт t. v↓ Переносим t-слагаемые влево, постоянные вправо:   v↑ S v↑ v↑ t + Vт t = S + ⇒ t (v↑ + Vт ) = S 1 + . v↓ v↓ 38

Подставляем v↑ = Vк −Vт и v↓ = Vк +Vт . Преобразуем выражение в левых скобках: v↑ + Vт = (Vк − Vт ) + Vт = Vк . Преобразуем выражение в правых скобках: 1+

Vк − Vт (Vк + Vт ) + (Vк − Vт ) 2Vк v↑ =1+ = = . v↓ Vк + Vт Vк + V т Vк + Vт

Отсюда получаем t1 =

S · Vк2V+Vк т

Vк Координата встречи определяется плотом:

2S . Vк + V т

d1 = xп (t1 ) = Vт t1 =

2S Vт . Vк + Vт

(б) Вторая встреча t2 и d2 Вторая встреча происходит на следующем спуске катера (он стартует из A в мо(1) мент tA = vS↓ + vS↑ ). На этом участке xк (t) = v↓

(1) t − tA

xп (t) = Vт t.

Запишем условие равенства координат: (1)

(1)

v↓ t − v↓ tA = Vт t ⇒ t (v↓ − Vт ) = v↓ tA . (1)

Подставим v↓ − Vт = (Vк + Vт ) − Vт = Vк и tA = vS↓ + vS↑ : v↓ t2 =

S S v↓ + v↑

Vк

S + S v↑↓ Vк

S = Vк

Vк + Vт 1+ Vк − Vт

 =

2S . Vк − Vт

Найдём координату этой встречи: d2 = xп (t2 ) = Vт t2 =

2S Vт . Vк − Vт

(в) Обобщение на все встречи Повторяя рассуждение для каждого последующего подъёма и спуска, получаем две серии: t2m−1 =

2m S Vк + Vт

(встречи на подъёмах),

t2m =

2m S Vк − Vт

(встречи на спусках),

Точки на реке для этих встреч определяется плотом: dn = Vт tn . Если в задаче требуется найти расстояние от B, берём S − dn . 39

2. Сколько встреч до прихода плота в B Учитываем все целые m ≥ 1, для которых моменты не превосходят tB = S V к + Vт 2m S ≤ ⇐⇒ m ≤ Vк + Vт Vт 2Vт

S : Vт

(серия подъёмов),

2m S S Vк − Vт ≤ ⇐⇒ m ≤ (серия спусков). Vк − Vт Vт 2Vт Дальше — чисто «счётная» процедура: выпишем натуральные m = 1, 2, . . . и возьмём все, которые удовлетворяют выше неравенствам, по каждой серии. Объединим оба спискa и, если в обоих оказался момент t = tB , посчитаем его один раз. Число получившихся моментов и есть искомое количество встреч N .

3. Максимальное расстояние Lmax до tB На каждом отрезке движение линейно, поэтому L(t) = |xк (t) − xп (t)| меняетcя равномерно; наибольшие значения этой функции до tB достигаются в концах отрезков: в момент старта, в моменты разворота катера и в момент tB . Моменты разворотов: (m)

tB = m

S S +(m−1) v↓ v↑

(m)

(m = 1, 2, . . . ),

tA = m

S S +m = mT v↓ v↑

(m = 1, 2, . . . ).

Значения L(t) в них считаются «в одну строчку»:     (m) (m) (m) (m) (m) (m) = 0 − Vт tA = Vт tA . L tB = S − Vт tB = S − Vт tB (до tB ), L tA Будем перебирать m = 1, 2, . . ., пока соответствующий момент не превосходитtB , и возьмём максимум из набора (1)

(2)

(1)

(2)

{ L(0) = 0; L(tB ), L(tB ), . . . ; L(tA ), L(tA ), . . . ; L(tB ) = 0 }. На практике часто хватает первых двух значений:    (1) L tA = Vт

  S Vт Vк (1) L tB = S − =S· , V к + Vт Vк + Vт

S S + Vк + V т V к − V т

Сравним их (и при необходимости следующее m) и выберем наибольшее.

40

 .

4. Обратная задача: найти Vк по d1 Первая встреча происходит на подъёме, а её координата определяется плотом: d1 = Vт t1 = Vт ·

2S . V к + Vт

Отсюда прямо выражается искомая скорость катера: Vк =

2S Vт − Vт . d1

Графическое решение задачи является более простым. На графике (см. рисунок) по оси t — время до tB = S/Vт , по оси x — координата: ломаная линия описывает движение катера (развороты в точках A и B), прямая — движение плота, точки пересечения — все встречи. По вершинам «пилы» удобно проверять Lmax .

41