Олимпиада по физике 10 класс — заключительный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

Решения — теор.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

LIX Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 10-1. Âñïëûâàþùèé áðóñîê

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñèòóàöèþ, êîãäà áðóñîê ïëàâàåò, íå êàñàÿñü äíà è ïîâåðíóâøèñü íà óãîë α âîêðóã ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè (íà ðèñóíêå èçîáðàæåíî ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå áðóñêà). Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ðàâíà 50% ïëîòíîñòè âîäû, áðóñîê ïîãðóæ¼í íà ïîëîâèíó ñâîåãî îáú¼ìà, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâåðõíîñòü âîäû ïðîõîäèò ÷åðåç ïðîäîëüíóþ îñü ñèììåòðèè áðóñêà (÷åðåç òî÷êó O íà ðèñ.). Ïîìèìî ñèëû òÿæåñòè, ïðèëîæåííîé â òî÷êå O, íà áðóñîê äåéñòâóåò ñèëà Àðõèìåäà. Äëÿ óäîáñòâà ïîäñ÷¼òîâ, ðàçîáü¼ì ïîãðóæ¼ííóþ ÷àñòü èçîáðàæ¼ííîãî ñå÷åíèÿ îòðåçêîì CD íà äâå ôèãóðû  òðåóãîëüíèê ECD è îñòàâøèéñÿ ïðÿìîóãîëüíèê  è íàéä¼ì öåíòðû ìàññ êàæäîé èç íèõ. Öåíòð ïåðâîé ôèãóðû íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí △ ECD (â òî÷êå A), à öåíòð âòîðîé  â òî÷êå B , ãäå ïåðåñåêàþòñÿ äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

F1 O

2α F2 A

mg C

α F

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî CD = a, EC = a tg α, CF = (b − a tg α)/2, è îáîçíà÷èâ äëèíó áðóñêà êàê L, çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñèëû Àðõèìåäà F1 è F2 , ïðèëîæåííûõ â òî÷êàõ A è B ñîîòâåòñòâåííî:

1 1 F1 = ρâ gL · a · a tg α = ρâ ga2 L tg α, 2 2

F2 = ρâ gaL ·

b − a tg α . 2

Äëèíû îòðåçêîâ AO è BO, îïèðàÿñü íà ðàçëè÷íûå ãåîìåòðè÷åñêèå òåîðåìû, ìîæíî íàéòè êàê

AO =

1 1 a CO = ED = , 3 6 6 cos α

BO =

a tg α + CF b + a tg α = . 2 4

Îïðåäåëèì òåïåðü çíà÷åíèå óãëà α, íå ðàâíîå íóëþ, ïðè êîòîðîì áðóñîê íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî òî÷êè O:

F1 · AO cos 2α = F2 · BO cos(90◦ − α)

1 a cos 2α b2 − a2 tg2 α ρâ ga2 L tg α · = ρâ gaL · · sin α 2 6 cos α 8

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

 2 2 b 2 ⇒ (1 − tg α) = − tg2 α 3 a  2 1 b ⇒ −2= ⇒ tg2 α = 3 a 3

⇒ α = 30◦ .

Äàííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, òàê êàê ïðè α > 30◦ ìîìåíò ñèëû F1 ïðåâûøàåò ìîìåíò ñèëû F2 , è áðóñîê áóäåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (óãîë α áóäåò óìåíüøàòüñÿ). Åñëè æå α < 30◦ , òî, íàîáîðîò, ìîìåíò ñèëû F2 áóäåò áîëüøå, è áðóñîê áóäåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ( α ñòàíåò óâåëè÷èâàòüñÿ). Ïðè÷¼ì ýòî ñïðàâåäëèâî, â òîì ÷èñëå, è äëÿ ìàëûõ óãëîâ, áëèçêèõ ê 0◦ . Òàêèì îáðàçîì, êîãäà âîäà äîéä¼ò äî âûñîòû b/2, èñõîäíîå ïîëîæåíèå áðóñêà (ïðè α = 0◦ ) ïåðåñòàíåò áûòü óñòîé÷èâûì, è îäèí èç êðà¼â áðóñêà (ëåâûé èëè ïðàâûé  äåëî ñëó÷àÿ) ñòàíåò ïîäíèìàòüñÿ ââåðõ. Ïðè äàëüíåéøåì ïîäú¼ìå óðîâíÿ âîäû âðàùåíèå áðóñêà ïðîäîëæèòñÿ, ïîêà óãîë α íå äîñòèãíåò âåëè÷èíû 30◦ . Åñëè óðîâåíü âîäû ïðîäîëæèò óâåëè÷èâàòüñÿ, áðóñîê îòîðâ¼òñÿ îò äíà ñîñóäà è áóäåò ïëàâàòü â òàêîì (óñòîé÷èâîì!) ïîëîæåíèè. Íàéä¼ì âûñîòó óðîâíÿ âîäû, ïðè êîòîðîé ïðîèçîéä¼ò îòðûâ áðóñêà: p 7/3 + 1 b + a tg α H = EF cos α = · cos α = · a ≈ 0,632 a. 2 4 Çàäà÷à 10-2. Äâîå ïðîòèâ âåòðà Ìåòîä 1

Ðàññìîòðèì îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå øàðèêîâ. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî èç íèõ

m⃗a1 = m⃗g − k(⃗v1 − ⃗u), m⃗a2 = m⃗g − k(⃗v2 − ⃗u) è âû÷òåì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äðóã èç äðóãà

m⃗ar = −k⃗vr . Çäåñü ⃗ar = ⃗a2 − ⃗a1  îòíîñèòåëüíîå óñêîðåíèå øàðèêîâ, à ⃗vr = ⃗v2 − ⃗v1  èõ îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü. Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ìàëîå èçìåíåíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè d⃗vr è ìàëîå èçìåíåíèå âåêòîðà ñìåùåíèÿ âòîðîãî øàðèêà îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî d⃗l ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

d⃗vr = −

k ⃗ dl. m

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïîñêîëüêó îíî ñïðàâåäëèâî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, ïîëíîå èçìåíåíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ∆⃗vr è ïîëíîå èçìåíåíèå âåêòîðà ñìåùåíèÿ ∆l⃗ ñâÿçàíû àíàëîãè÷íî k ∆⃗vr = − ∆⃗l. m Ñîãëàñíî óñëîâèþ, ñïóñòÿ íåêîòîðîå äîñòàòî÷íî áîëüøå âðåìÿ îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü øàðèêîâ ïðåíåáðåæèìî ìàëà (⃗vr = ⃗0), à âåêòîð ñìåùåíèÿ ìåæäó íèìè ⃗l = L ⃗ íàïðàâëåí âåðòèêàëüíî ââåðõ è èìååò äëèíó L, ñëåäîâàòåëüíî

⃗0 − (⃗v20 − ⃗v10 ) = − k ( ⃗ L − ⃗0), m k ⃗v20 − ⃗v10 = ⃗ L. m Çàïèøåì ýòî ðàâåíñòâî â ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü

v20 cos α2 − v10 cos α1 = 0, îòêóäà

v20 = v10

cos α1 ≈ 12,26 ì/ñ. cos α2

Ìåòîä 2

Çàïèøåì äëÿ ïåðâîãî øàðèêà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà îñü OX , íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî âïðàâî,

dv1x = −k(v1x + u). dt

Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå è ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (x1 (0) = 0 è v1x (0) = v10 cos α1 ), ïîëó÷èì k

v1x (t) = (v10 cos α1 + u)e− m t − u, k m x1 (t) = (v10 cos α1 + u)(1 − e− m t ) − ut. k Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, k

v2x (t) = (v20 cos α2 + u)e− m t − u, k m x2 (t) = (v20 cos α2 + u)(1 − e− m t ) − ut. k Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî x1 (∞) = x2 (∞), ïîýòîìó

v10 cos α1 = v20 cos α2 ,

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

îòêóäà

v20 = v10

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

cos α1 ≈ 12,26 ì/ñ. cos α2

Ìåòîä 1

Çàìåòèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåì, ÷òî âòîðîé øàðèê óïàë ïîçäíåå, âåêòîð ⃗ L k ⃗ íàïðàâëåí ââåðõ. Çàïèøåì ïîëó÷åííîå âûøå âåêòîðíîå ðàâåíñòâî ⃗v20 −⃗v10 = m L â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü

v20 sin α2 − v10 sin α1 =

k L. m

Îòñþäà

L m = = 0,75 ñ. k v20 sin α2 − v10 sin α1 Òåïåðü ðàññìîòðèì äâèæåíèå ïåðâîãî øàðèêà â îòäåëüíîñòè. Çàïèøåì äëÿ íåãî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü OY , m

dv1y = −mg − kv1y dt

dv1y = −gdt −

k dy1 . m

Çäåñü y1  âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà ïåðâîãî øàðèêà. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñïóñòÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ âåðòèêàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ïðèìåò çíà÷åíèå −mg/k . Ïåðåõîäÿ ê êîíå÷íûì ïðèðàùåíèÿì òàê, êàê ìû ðàíüøå ñäåëàëè ñ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ è âåêòîðîì ñìåùåíèÿ ìåæäó øàðèêàìè, ïîëó÷èì

− Îòñþäà

H=

mg k − v10 sin α1 = −gτ + H. k m

m2 m (gτ − v10 sin α1 ) − 2 g = 30,83 ì. k k

Ìåòîä 2

Çàïèøåì äëÿ ïåðâîãî øàðèêà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà îñü OY , íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ,

dv1y = −mg − kv1y . dt Îòñþäà, èíòåãðèðóÿ ñ ó÷¼òîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé ( y(0) = 0 è v1y (0) = v10 sin α1 ), ïîëó÷èì  mg  − k t mg v1y (t) = v10 sin α1 + e m − , k k   k m mg mg y1 (t) = v10 sin α1 + (1 − e− m t ) − t. k k k m

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì,

 mg  − k t mg e m − v2y (t) = v20 sin α2 + , k k  k mg  m mg v20 sin α2 + (1 − e− m t ) − t. y2 (t) = k k k Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî y2 (∞) − y1 (∞) = L, òàê ÷òî

m (v20 sin α2 − v10 sin α1 ) = L. k Îòñþäà

m L = = 0,75 ñ. k v20 sin α2 − v10 sin α1

Ñîãëàñíî óñëîâèþ,

H = −y1 (τ ) =

k m mg  mg τ− v10 sin α1 + (1 − e− m τ ) = 30,84 ì. k k k

Ìåòîä 1

Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû øàðèêîâ êàê öåëîãî. Óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ⃗ac = (⃗a1 + ⃗a2 )/2 ñâÿçàíî ñ âíåøíèìè ñèëàìè âûðàæåíèåì

2m⃗ac = −k(⃗v1 + ⃗v2 − 2⃗u) + 2m⃗g = −2k(⃗vc − ⃗u) + 2m⃗g , ãäå ⃗vc = (⃗v1 + ⃗v2 )/2  ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå ⃗vf = ⃗u + m⃗g /k  íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî óñòàíîâèâøàÿñÿ ñêîðîñòü ëþáîãî èç øàðèêîâ. Ïîëó÷èì k ⃗ac = − (⃗vc − ⃗vf ). m Ïåðåéä¼ì â ñèñòåìó îòñ÷¼òà, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ⃗vf . Óñêîðåíèå è ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ â ýòîé ñèñòåìå îáîçíà÷èì ⃗a′c è ⃗vc′ ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà k ⃗a′c = − ⃗vc′ . m Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå! Ïðè ýòîì èçâåñòíî, ÷òî öåíòð ìàññ äâàæäû ïðîõîäèë ÷åðåç òî÷êó O, êîòîðàÿ â âûáðàííîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ −⃗vf . Ñëåäîâàòåëüíî, ⃗vc′ || ⃗vf . Íî ⃗vc′ = ⃗vc − ⃗vf , à çíà÷èò ⃗vc || ⃗vf , òî åñòü

(⃗v1 + ⃗v2 ) ||

  m⃗g ⃗u + . k

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè, â òîì ÷èñëå äëÿ íà÷àëüíîãî. Òàêèì îáðàçîì v10 cos α1 + v20 cos α2 u . = v10 sin α1 + v20 sin α2 mg/k Ñ ó÷¼òîì v20 cos α2 = v10 cos α1 îòñþäà ïîëó÷èì

u=

2g m ≈ 10,96 ì/c. k tg α1 + tg α2

Ìåòîä 2

Ïóñòü îñü OY øàðèêè ïåðåñåêàþò â ìîìåíò âðåìåíè t1 íà ðàññòîÿíèÿõ h îò òî÷êè O. Òîãäà èìååì k m (v10 cos α1 + u)(1 − e− m t1 ) − ut1 , k k m mg  mg t1 , −h = v10 sin α1 + (1 − e− m t1 ) − k  k  k k mg m mg v20 sin α2 + (1 − e− m t1 ) − t1 . h= k k k

0=

Èñêëþ÷èâ èç ýòîé ñèñòåìû t1 è h, âûðàçèì

u=

2mg v10 cos α1 . k v10 sin α1 + v20 sin α2

Ñ ó÷¼òîì v20 cos α2 = v10 cos α1 îòñþäà ïîëó÷èì

u=

2g m ≈ 10,96 ì/c. k tg α1 + tg α2

Çàäà÷à 10-3. Ãàçèðîâêà ïîä ïîðøíåì

Ïóñòü Vâ  îáú¼ì âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà, V1 è V2  îáú¼ìû ãàçà è, ñîîòâåòñòâåííî, ãàçèðîâàííîé âîäû â íèæíåé ÷àñòè ñîñóäà. Òàê êàê âîäà ïîñòóïàåò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, à ñóììàðíûé îáú¼ì ñîñóäà ðàâåí 2V0 , òî

V2 = qt,

V1 = 2V0 − Vâ − qt.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âîäà åù¼ íå çàïîëíèëà âñþ íèæíþþ ÷àñòü ñîñóäà (V1 > 0). Ïîðøåíü, ðàçäåëÿþùèé ñîñóä, ë¼ãêèé è äâèãàåòñÿ áåç òðåíèÿ, ïîýòîìó äàâëåíèå óãëåêèñëîãî ãàçà P ïî îáå ñòîðîíû îò íåãî îäèíàêîâî. Ìàññà CO2 , ðàñòâîð¼ííîãî â âîäå, ñîãëàñíî çàêîíó Ãåíðè ðàâíà

m2 = µð V2 = kP V2 = kP qt.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

 íà÷àëüíûé ìîìåíò ìàññû ãàçà â âåðõíåé è íèæíåé ÷àñòÿõ ñîñóäà ðàâíû, ñëåäîâàòåëüíî â íåêîòîðûé ìîìåíò t ìàññà ãàçà ïîä ïîðøíåì (*)

m1 = mâ − m2 = mâ − kP qt,

ãäå mâ  ìàññà óãëåêèñëîãî ãàçà â âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà. Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèÿ ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà äëÿ ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ ïî îáå ñòîðîíû îò ïîðøíÿ, è, âûðàæàÿ îòòóäà ìàññû, ïîäñòàâèì èõ â óðàâíåíèå (∗)  P Vâ M P V1 M P Vâ = mâ RT0 /M, = − kP qt ⇒ ⇒ P V1 = m1 RT0 /M RT0 RT0

V1 = Vâ −

Îòñþäà, ðåøàÿ ñèñòåìó, íàéä¼ì, ÷òî   qt kRT0 −1 , Vâ = V0 + 2 M Ïîñêîëüêó

kRT0 · qt. M

V1 = V0 −

qt 2

 kRT0 +1 . M

(**)

kRT0 3,17 · 10−5 · 8,31 · 274 = ≈ 1,64 > 1, M 0,044

òî èç ïåðâîãî âûðàæåíèÿ â (∗∗) ñëåäóåò, ÷òî Vâ óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, à ïîðøåíü äâèãàåòñÿ âíèç. Ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ ðàâíà   q kRT0 4 ñì3 /ñ ∆Vâ = −1 = vï = (1,64 − 1) ≈ 0,01 ñì/ñ. S∆t 2S M 256 ñì2 Èç âòîðîãî âûðàæåíèÿ â (∗∗) ñëåäóåò, ÷òî îáú¼ì ãàçà íàä ïîâåðõíîñòüþ âîäû â íèæíåé ÷àñòè ñîñóäà íåïðåðûâíî óìåíüøàåòñÿ è â ìîìåíò âðåìåíè

t1 =

2 · 6,6 ë 2V0 = ≈ 1250 ñ q(kRT0 /M + 1) 0,004 ë/ñ · (1,64 + 1)

ñòàíîâèòñÿ íóëåâûì, âåñü ãàç îêàçûâàåòñÿ ðàñòâîðåííûì â æèäêîñòè, à æèäêîñòü óïèðàåòñÿ â ïîðøåíü.  äàëüíåéøåì ïîñòóïàþùàÿ âîäà áóäåò ïîäíèìàòü ïîðøåíü, à îáú¼ì ãàçà â âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà ñòàíåò óìåíüøàòüñÿ. Ïðîöåññ, ïðîèñõîäÿùèé ñ ãàçîì íàä ïîðøíåì, èçîòåðìè÷åñêèé, ïîýòîìó ìèíèìàëüíîå äàâëåíèå Pmin äîñòèãàåòñÿ ïðè ìàêñèìàëüíîì Vâ , òî åñòü ÷åðåç âðåìÿ t = t1 ïîñëå âêëþ÷åíèÿ íàñîñà. Ìàêñèìàëüíûé îáú¼ì âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà äîñòèãàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t1 . Íàéäåì ýòîò îáúåì, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ t1 â ïåðâóþ ôîðìóëó (∗∗):

Vâ max = 2V0 ·

kRT0 /M ≈ 8,2 ë. kRT0 /M + 1

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Äàâëåíèå ãàçà íàä ïîðøíåì â ýòîò ìîìåíò, cîãëàñíî çàêîíó ÁîéëÿÌàðèîòòà, ðàâíî P0 V 0 Pmin = ≈ 132 êÏà. Vâ max  ìîìåíò âûêëþ÷åíèÿ íàñîñà äàâëåíèå ãàçà íàä ïîðøíåì ðàâíî Pêð , à îáú¼ì âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà ñîñòàâëÿåò

Vâ êð =

2V0 P0 V0 = 2,64 ë. = Pêð 5

Îáú¼ì îñòàëüíîé ÷àñòè ñîñóäà, çàïîëíåííîé âîäîé, ðàâåí

V2 êð = 2V0 − Vâ êð =

8V0 . 5

Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî âðåìÿ ðàáîòû íàñîñà

t2 =

V2 êð 8V0 = = 2640 ñ. q 5q

Èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ, ãðàôèê çàâèñèìîñòè Vâ (t) èìååò âèä ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêîâ. Âåðøèíà ëîìàíîé íàõîäèòñÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (t1 ; Vâ max ), à å¼ êîíöû  â òî÷êàõ (0; V0 ) è (t2 ; Vâ êð ). Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè Vâ (t), îòìåòèâ íà í¼ì õàðàêòåðíûå òî÷êè.

Vâ , ë 9

(1250 ñ; 8,2 ë)

8 7 6

(0 ñ; 6,6 ë)

5 4 3

(2640 ñ; 2,64 ë)

2 1

t, ñ 500

1000

1500

2000

2500

3000

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 10-4. Ãàíòåëü â ïîëîñòè

Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñÿì ïîëîñòè è öèëèíäðà. Ïóñòü O  òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îñè öèëèíäðà ñ ýòîé ïëîñêîñòüþ, à O′  òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ ïîëîñòè (ðèñ. 1). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A âíóòðè ïîëîñòè. Åñ−−→ −−→ −→ ëè ⃗r = OA, r⃗′ = O′ A, à d⃗ = OO′ , òîãäà ⃗r = r⃗′ + d⃗.

⃗A E ⃗ −ρ E ρ

⃗ρ E

A ⃗r O

d⃗

r⃗′ O′

Ðèñ. 1

Ïóñòü ρ  îáú¼ìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà öèëèíäðà, òîãäà ïîëîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ öèëèíäðîâ ñ îáú¼ìíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà ρ è −ρ. Ïåðâûé öèëèíäð äîïîëíÿåò öèëèíäð ñ âûðåçîì äî ïîëíîãî ñïëîøíîãî öèëèíäðà. Ïîëå âíóòðè âûðåçà ïðåäñòàâèì êàê ñóïåðïîçèöèþ ïîëåé äîïîëíåííîãî öèëèíäðà è öèëèíäðà ñ ïëîòíîñòüþ çàðÿäà −ρ. Èñïîëüçóÿ ñèììåòðèþ, íàéä¼ì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà íàïðÿæ¼ííîñòü ïîëÿ E(r) âíóòðè ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî öèëèíäðà:

ΦE =

qin , ãäå ΦE = 2πrlE(r), qin = πr2 lρ, ε0

ρr ⃗ r) = ρ ⃗r. Òîãäà íàïðÿæ¼ííîñòü îòêóäà E(r) = 2ε èëè, â âåêòîðíîì âèäå, E(⃗ 2ε0 0 ïîëÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå A ðàâíà

⃗A = E ⃗ ρ (⃗r) + E ⃗ −ρ (⃗r′ ) = ρ ⃗r + (−ρ)⃗r′ = ρ (⃗r − ⃗r′ ) = ρ ⃗ E d. 2ε0 2ε0 2ε0 2ε0

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Òàêèì îáðàçîì, ïîëå âíóòðè ïîëîñòè îäíîðîäíî, âåêòîð íàïðÿæ¼ííîñòè íàïðàâρR ëåí ãîðèçîíòàëüíî, à åãî ìîäóëü ðàâåí Eï = . 4ε0 Íà çàðÿæåííûé øàðèê ìàññîé m è çàðÿäîì q , ïîìåù¼ííûé â ïîëîñòü, äåéqρR ñòâóåò ñèëà F⃗ = F⃗g + F⃗E , ãäå Fg = mg  ñèëà òÿæåñòè, FE =  ñèëà ñî 4ε0 ñòîðîíû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòè ñèëû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû v è îäíîðîäíû, !2 u u qρR t . ïîýòîìó øàðèê áóäåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a = g 2 + 4mε0 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, øàðèê äîëåòåë äî ñòåíêè ïîëîñòè çà âðåìÿ τ . Ýòî çíà÷èò, ÷òî 4ε0 mg 2(R/2) √ = 2g , îòêóäà ρ = . a= τ2 qR √ Ïóñòü B  ñåðåäèíà ñòåðæíÿ, r = 3R/8  ðàäèóñ êîëüöà, à L = 2r  ðàñ−−→ ñòîÿíèå ìåæäó áóñèíêàìè. Ïðè äâèæåíèè ñòåðæíÿ ñ áóñèíêàìè âåêòîð O′ B áóäåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè â ïëîñêîñòè ðèñóíêà, à ñêîðîñòü îáåèõ áóñèíîê áóäåò, â ñèëó êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè, îäèíàêîâà. Îáîçíà÷èì φ óãîë ïî−−→ âîðîòà âåêòîðà O′ B è íàéä¼ì çíà÷åíèå óãëà φð , ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè áóñèíîê. Ìåòîä 1

Ñîãëàñíî òåîðåìå î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

3mv 2 = Ag + AE , 2 ãäå v  ñêîðîñòü áóñèíîê, Ag è AE  ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè è ýëåêòðè÷åñêîé ñèëû −−→ ñîîòâåòñòâåííî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ îáåèõ ðàáîò ïðè ïîâîðîòå âåêòîðà O′ B íà óãîë φ:

Ag = mgr(cos(φ − π/4) − cos(π/4)) + 2mgr(cos(π/4 + φ) − cos(π/4)), AE = 2qEï r(sin(φ − π/4) + sin(π/4)) + qEï r(sin(π/4 + φ) − sin(π/4)). Èç ñîîòíîøåíèé, íàéäåííûõ â ïåðâîì ïóíêòå, ïîëó÷èì, ÷òî

qEï = q ·

ρR = mg. 4ε0

Èñïîëüçóÿ ýòî, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñóììàðíîé ðàáîòû: √ AΣ = Ag + AE = mgr(2 cos(φ − π/4) − 2). Ñêîðîñòü áóñèíîê áóäåò íàèáîëüøåé òîãäà, êîãäà AΣ äîñòèãíåò ìàêñèìóìà, òî åñòü ïðè φð = π/4. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â âûðàæåíèå äëÿ ñóììàðíîé ðàáîòû,

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ïîëó÷èì 2 √ 3mvmax = mgr(2 − 2) 2 q s √ √ (2 − 2)gR 2(2 − 2)gr = . vmax = 3 2

AΣ max = mgr(2 −

2)

Ìåòîä 2

 ìîìåíò äîñòèæåíèÿ áóñèíêàìè ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè èõ òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ. Ïîýòîìó ñóììà ìîìåíòîâ ñèë òÿæåñòè è ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë, ðàññ÷èòàííûõ â äàííûé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî òî÷êè O′ , ðàâíà íóëþ. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ Mg è ME (ñóììàðíîãî ìîìåíòà ñèë òÿæåñòè è ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë ñîîòâåòñòâåííî), ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè:

Mg = −mgr sin(φ − π/4) − 2mgr sin(φ + π/4), ME = 2qEï r cos(φ − π/4) + qEï r cos(φ + π/4). Èç ñîîòíîøåíèé, íàéäåííûõ â ïåðâîì ïóíêòå, ïîëó÷èì, ÷òî

qEï = q ·

ρR = mg. 4ε0

Èñïîëüçóÿ ýòî, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñóììàðíîãî ìîìåíòà

MΣ = Mg + ME = −mgr sin(φ − π/4) − 2mgr sin(φ + π/4) + + 2mgr cos(φ − π/4) + mgr cos(φ + π/4) = −2mgr sin(φ − π/4). Ïðè φ < π/4 ñóììàðíûé ìîìåíò ïîëîæèòåëüíûé, è ñèñòåìà ðàçãîíÿåòñÿ, äîñòèãàÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè ïðè φð = π/4, êîãäà MΣ = 0. Ñîãëàñíî çàêîíó èçìåíåíèÿ ýíåðãèè     2 r r r 3mvmax + 2mgr − 3mg · r − √ = 2qEï · √ + qEï r − √ , 2 2 2 2 îòêóäà 2 √ 3mvmax = mgr(2 − 2) 2

s ⇒

Ñäåëàåì íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé:

vmax =

2(2 −

√ 3

q 2)gr

(2 −

2)gR .

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

1) Òàê êàê ñòåðæåíü íåâåñîì, ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñòåðæåíü, ðàâíà íóëþ. 2) Òàê êàê ñòåðæåíü è áóñèíêè ñîåäèíåíû øàðíèðíî, ñèëà, ñ êîòîðîé ñòåðæåíü äåéñòâóåò íà áóñèíêè, íàïðàâëåíà âäîëü íåãî. 3) Â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ áóñèíêîé ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè å¼ òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ, ïîýòîìó ïðîåêöèÿ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ýòó áóñèíêó, íà îñü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðàäèóñó, ðàâíà íóëþ.

T + Fêóë

an

N2m

qEï

π 4

Nm L

2mg

π 4

an 2qEï mg T + Fêóë Ðèñ. 2

Ðàññìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êàæäóþ èç áóñèíîê â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ èìè ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè, òî åñòü ïðè φð = π/4 (ðèñ. 2). Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ íèæíåé áóñèíêè â ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü, ó÷èòûâàÿ òðåòüå óòâåðæäåíèå,

0 = 2qEï − (T + Fêóë ) cos(π/4), ãäå T  ñèëà ðåàêöèè ñòåðæíÿ, à Fêóë = q 2 /(2πε0 L2 )  ñèëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî îòòàëêèâàíèÿ áóñèíîê. Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî

√ √ T = 2 2qEï − Fêóë = 2 2mg −

√ q2 16q 2 = 2 2mg − . 2 2πε0 L 9πε0 R2 √ v2 2(2 − 2) Íîðìàëüíîå óñêîðåíèå â ýòîò ìîìåíò ðàâíî an = = g . Çàïèøåì r 3

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ îáåèõ áóñèíîê â ïðîåêöèè íà ðàäèàëüíî íàïðàâëåííûå îñè (äëÿ íèæíåé áóñèíêè  íà âåðòèêàëüíóþ, äëÿ âåðõíåé  íà ãîðèçîíòàëüíóþ):

man = − (T + Fêóë ) sin(π/4) − mg + Nm , 2man = − (T + Fêóë ) sin(π/4) − qEï + N2m . √ Ïîñêîëüêó T + Fêóë = 2 2qEï , √ √ 13 − 2 2 2(2 − 2) = mg · , Nm = mg + man + 2qEï = 3mg + mg · 3 3 √ √ 4(2 − 2) 17 − 4 2 N2m = 2man + 3qEï = 3mg + mg · = mg · . 3 3 Çàäà÷à 10-5. Òåðìèñòîð, ëàçåð è äèîä

Êîãäà äèîä îòêðûâàåòñÿ, íàïðÿæåíèå íà í¼ì è íà òåðìèñòîðå ðàâíî U0 , à ñèëà òîêà ÷åðåç äèîä ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó ñèëà òîêà, ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç ðåçèñòîð r è òåðìèñòîð, ðàâíà I = (E1 − U0 )/r. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

I = U0 /R0 · (1 + α(t1 − t0 ))2 , ãäå t1  òåìïåðàòóðà òåðìèñòîðà â äàííîì ðåæèìå. Ïðèðàâíèâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ, íàõîäèì, ÷òî s

α(t1 − t0 ) =

R0 (E1 − U0 ) · − 1 = 0,5. r U0

Òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà òåðìèñòîðå, äîëæíà â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ðàññåèâàòüñÿ â îêðóæàþùèé âîçäóõ. Ïîýòîìó

U02 · (1 + α(t1 − t0 ))2 = k(t1 − t0 ), R0 ãäå k  êîýôôèöèåíò â çàêîíå Íüþòîíà-Ðèõìàíà. Âûðàçèì èç äàííîãî âûðàæåíèÿ âåëè÷èíó k/α:

k U 2 (1 + α(t1 − t0 ))2 = 0 · = 0,3 Âò. α R0 α(t1 − t0 ) Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà íà òåðìèñòîð ñâåòÿò ëàçåðîì. Çàïèøåì óñëîâèå áàëàíñà ìîùíîñòåé ïðè íàïðÿæåíèè íà òåðìèñòîðå, ðàâíîì U :

U2 · (1 + α(t − t0 ))2 + P = k(t − t0 ). R0

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Âûðàçèì U 2 :

U 2 = R0 ·

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

k(t − t0 ) − P (1 + α(t − t0 ))2

(*)

è íàéä¼ì ìàêñèìóì ýòîé ôóíêöèè. Îáîçíà÷àÿ z = α(t − t0 − P/k), ïîëó÷èì

U2 =

R0 k/α · z R0 k/α = . √ 2 (1 + αP/k + z)2 1+αP/k √ + z z

Äàëåå èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî î ñðåäíèõ: 2 U 2 ⩽ Umax =

R0 k/α . 4(1 + αP/k)

Åñëè äèîä íå îòêðûâàåòñÿ ïðè ëþáîé ÝÄÑ èñòî÷íèêà,   k R0 k/α Umax ⩽ U0 ⇒ P ⩾ · − 1 = 0,0375 Âò. α 4U02 Òàêèì îáðàçîì, ìèíèìàëüíàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, êîòîðóþ äîëæåí ïåðåäàâàòü ëàçåð, ÷òîáû äèîä çàêðûëñÿ ïðè ëþáîé E , ðàâíà 37,5 ìÂò. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó äèîä ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ëàçåðà íå îòêðûëñÿ, çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (∗) ïðè P = 0 òîæå èìååò ìàêñèìóì, à ñëåäîâàòåëüíî íàïðÿæåíèå íà òåðìèñòîðå ìîæåò áûòü ìåíüøå U0 êàê ïðè ìàëûõ òîêàõ (è ìàëûõ ÝÄÑ), òàê è ïðè áîëüøèõ òîêàõ (è, ñîîòâåòñòâåííî, áîëüøèõ ÝÄÑ). Ïîäñòàâèâ â (∗) çíà÷åíèÿ U0 , R0 , k/α è P = 0, ïîëó÷èì óðàâíåíèå

α(t − t0 ) 2 = , 2 (1 + α(t − t0 )) 9 êîòîðîå èìååò äâà êîðíÿ: ïåðâûé íàì óæå èçâåñòåí

α(t1 − t0 ) = 1/2, à âòîðîé  íîâûé

α(t2 − t0 ) = 2. Ðàññ÷èòàåì äëÿ íåãî ÝÄÑ èñòî÷íèêà, ñ÷èòàÿ òîê ÷åðåç äèîä ðàâíûì íóëþ:

E2 = I2 r + U0 =

9U0 r U0 r (1 + α(t2 − t0 ))2 + U0 = + U0 = 14 Â. R0 R0

Òàêèì îáðàçîì, ÝÄÑ èñòî÷íèêà íàäî óìåíüøèòü äî 14 Â, ÷òîáû äèîä ñíîâà îòêðûëñÿ.

Решения — прак.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

LIX Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Âîçìîæíûå ðåøåíèÿ Çàäà÷à 10-E1. Ò¼ìíîå ïÿòíî

Ïîâåðõíîñòü äíà ñîñóäà ÿâëÿåòñÿ ìàòîâîé, ïîýòîìó ëó÷ ëàçåðà, ïîïàäàþùèé íà íå¼, ðàññåèâàåòñÿ âî âñå ñòîðîíû. Ëó÷è, ïîïàäàþùèå èçíóòðè íà ãðàíèöó æèäêîñòè è âîçäóõà ïîä óãëàìè, ïðåâûøàþùèìè ïðåäåëüíûé óãîë αêð , îòðàæàþòñÿ îáðàòíî è ñíîâà ïîïàäàþò íà ìàòîâóþ ïîâåðõíîñòü äíà ñîñóäà, ïîäñâå÷èâàÿ å¼.  ñâîþ î÷åðåäü, ëó÷è, ïîïàäàþùèå íà ãðàíèöó æèäêîñòü-âîçäóõ ïîä óãëàìè, ìåíüøèìè αêð , ïðåëîìëÿþòñÿ è âûõîäÿò èç æèäêîñòè. Ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî è äëÿ óãëîâ ïàäåíèÿ, ìåíüøèõ αêð , íåáîëüøàÿ ÷àñòü ñâåòà îòðàæàåòñÿ îáðàòíî, ïîýòîìó ò¼ìíûé êðóã íà äíå ñîñóäà íåñêîëüêî ïîäñâå÷åí (ñì. ôîòî 1 èç óñëîâèÿ) è íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ ÷¼ðíûì. Íàéä¼ì äèàìåòð ò¼ìíîãî ïÿòíà, äëÿ ÷åãî ïîñòðîèì ëó÷, êîòîðûé ïîñëå ðàññåÿíèÿ ñâåòà îò ëàçåðà íà äíå ñîñóäà ïàäàåò íà ãðàíèöó æèäêîñòü-âîçäóõ ïîä óãëîì αêð (ñì. ðèñ. 1). Èç òðåóãîëüíèêîâ, ïîêàçàííûõ íà ðèñóíêå, ñëåäóåò, ÷òî

D = 2 · h tg αêð . 2 Ïîñêîëüêó ïðåäåëüíûé óãîë, ïðè êîòîðîì íà ãðàíèöå æèäêîñòè ñ âîçäóõîì ïðîèñõîäèò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé sin αêð = 1/næ ,

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

âûðàæåíèå äëÿ äèàìåòðà ò¼ìíîãî ïÿòíà áóäåò èìåòü âèä

D= p

4h . n2æ − 1

ëó÷ ëàçåðà

αêð α êð

αêð α êð

æèäêîñòü

ìàòîâàÿ ïîâåðõíîñòü

Ðèñ. 1

Ïîìåñòèì â ñîñóä ëèíåéêó è, âêëþ÷èâ ëàçåð, íà÷í¼ì ñ ïîìîùüþ øïðèöà íàëèâàòü âíóòðü âîäó. Çàíåñ¼ì â òàáëèöó ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé.

V, ìë

50

65

80

95

110

125

140

D, ìì

24

33

42

50

59

68

77

Âûëüåì âîäó è âûòðåì äíî ñîñóäà è ëèíåéêó ñàëôåòêîé. Ïîâòîðèì îïèñàííûé âûøå ýêñïåðèìåíò ñ íåèçâåñòíîé æèäêîñòüþ.

V, ìì

50

65

80

95

110

125

140

D, ìì

22

30

39

47

55

64

72

Íà äíå ñîñóäà  1 åñòü ïëîñêàÿ ïëîùàäêà, ïîýòîìó òåîðåòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü äèàìåòðà ïÿòíà D îò îáú¼ìà æèäêîñòè V äîëæíà èìåòü âèä ëèíåéíîé ôóíêöèè 4(V − V0 ) D(V ) = p , S n2æ − 1 ãäå S  ïëîùàäü äíà ñîñóäà, V0  êîíñòàíòà, ñâÿçàííàÿ ñ îáú¼ìîì ïóñòîãî ìåñòà âîêðóã ïëîùàäêè è îáú¼ìîì ëèíåéêè. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

òî÷êè, ïîëó÷åííûå â ïï. 1.2 è 1.3, è äëÿ êàæäîé ñåðèè òî÷åê ïðîâåä¼ì àïïðîêñèìèðóþùóþ ïðÿìóþ (ðèñ. 2). Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå S íåèçâåñòíî, áóäåì èñêàòü îòíîøåíèå óãëîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîñòðîåííûõ ïðÿìûõ

γ= Ñ äðóãîé ñòîðîíû, s

γ=

kâ 77,0 − 24,0 = 1,06. = kíæ 72,0 − 22,0

n2íæ − 1 n2â − 1

níæ =

1 + γ 2 (n2â − 1) = 1,37.

D, ìì

80

70

60

Âîäà ÍÆ

50

40

30 V, ìë 20 40

60

80

100

120

140

Ðèñ. 2

Îöåíèì ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà:

∆níæ =

1 (n2â − 1)∆(γ 2 ) + γ 2 ∆(n2â ) (n2 − 1)γ γ 2 nâ · = â · ∆γ + · ∆nâ . 2 níæ níæ níæ

Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ è äàííûå èç óñëîâèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî 0,001, à ïåðâîå  0,6∆γ . Äëÿ íàõîæäåíèÿ ∆γ ïðèìåíèì ìåòîä ãðàíèö,

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

ñ÷èòàÿ, ÷òî âîçìîæíîå îòêëîíåíèå êîîðäèíàò êðàéíèõ òî÷åê ñîñòàâëÿåò 0,5 ìì (ïîëîâèíó äåëåíèÿ êîîðäèíàòíîé ñåòêè):

γmax =

77,5 − 23,5 ≈ 1,10 , 71,5 − 22,5

γmin =

76,5 − 24,5 ≈ 1,02 72,5 − 21,5

∆γ ≈ 0,04.

Îòñþäà âèäíî, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå íå ñóùåñòâåííî, è ∆níæ = 0,03. Âîçüì¼ì ñîñóä  2 è, âêëþ÷èâ ëàçåð, èçìåðèì äèàìåòð ïÿòíà. Ïîëó÷èì, ÷òî D0 = 34 ìì.  äàííîé ñèñòåìå åñòü äâå ãðàíèöû (àêðèëîâàÿ ïëàñòèíà-æèäêîñòü è æèäêîñòüâîçäóõ), íà êîòîðûõ âîçìîæíî ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé ñëó÷àé  ëó÷ ïàäàåò íà ãðàíèöó æèäêîñòü-âîçäóõ ïîä ïðåäåëüíûì óãëîì α1  è íàéä¼ì ðàññòîÿíèå D1 /2 (ñì. ðèñ. 3):

D1 /2 = 2d tg β1 + 2h tg α1 . Ïåðåïèøåì ýòî âûðàæåíèå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

sin α1 =

1 , næ

è ïîëó÷èì

D1 = p

sin β1 = 4d n2

ïë − 1

næ sin α1 1 = , nïë nïë

+p

4h . n2æ − 1

(*)

Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà ëó÷ èñïûòûâàåò ïîëíîå îòðàæåíèå îò ãðàíèöû àêðèëæèäêîñòü, ðàññòîÿíèå D2 /2 ðàâíî

D2 /2 = 2d tg α2 , ãäå sin α2 = næ /nïë . Îòêóäà, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ óãëà, ïîëó÷èì

D2 = p

4d (nïë /næ )2 − 1

(**)

Äèàìåòðó ò¼ìíîãî ïÿòíà ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåå èç äâóõ íàéäåííûõ çíà÷åíèé. Áîëüøåå çíà÷åíèå îïðåäåëÿåò äèàìåòð âíåøíåãî ñâåòëîãî êîëüöà âîêðóã ò¼ìíîãî ïÿòíà (ìîæíî âèäåòü íà ôîòî 2 èç óñëîâèÿ). Òàêèì îáðàçîì, D = min(D1 ,D2 ). Ïîìåñòèì ëèíåéêó â ñîñóä  2 è, âêëþ÷èâ ëàçåð, íà÷í¼ì ñ ïîìîùüþ øïðèöà íàëèâàòü âíóòðü âîäó. Çàíåñ¼ì â òàáëèöó ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé.

V, ìë D, ìì

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

46

51

55

58

63

66

70

73

76

75

75

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

ëó÷ ëàçåðà

α1 β1

æèäêîñòü

α2 àêðèë

D1 /2

ìàòîâàÿ ïîâåðõíîñòü

D2 /2 Ðèñ. 3

Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ V âîäà çàíèìàåò ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ñòåíêàìè ñîñóäà è ïëàñòèíîé, ïîýòîìó ïðè V < V1 (çíà÷åíèå V1 ïðåäñòîèò íàéòè èç ãðàôèêà) äèàìåòð ïÿòíà ïîñòîÿíåí: D = D0 = 34 ìì. Àíàëîãè÷íî, ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿ V (êîãäà V áîëüøå íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ V2 ) äèàìåòð ïÿòíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (∗∗), ñëåäîâàòåëüíî, òàêæå ïîñòîÿíåí.  èíòåðâàëå V1 < V < V2 çàâèñèìîñòü D(V ), ñîãëàñíî (∗), äîëæíà áûòü ëèíåéíîé. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè, ïîëó÷åííûå â ï. 2.3, è ïîñòðîèì ãðàôèê, ó÷èòûâàþùèé îñîáåííîñòè, óêàçàííûå âûøå (ðèñ. 3).

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

D, ìì

80

70

60

50

40 V, ìë 30 0

40

80

120

160

200

Ðèñ. 3

Ïîñòðîåííûé ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëîìàíóþ  òðè ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêà, äâà èç êîòîðûõ ãîðèçîíòàëüíû. Âåðøèíû ëîìàíîé èìåþò êîîðäèíàòû (44 ìë; 34 ìì) è (155 ìë; 75 ìì). Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äèàìåòðà ïÿòíà D2 = 75 ìì, à ìèíèìàëüíîå  D0 = 34 ìì. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ ïîëó÷åííîé â ïï. 1.1, çàïèøåì

D0 = p

4d n2

ïë − 1

îòêóäà

D2 n2 − 1 δ = 22 = 2 ïë 2 D0 nïë /nâ − 1

s ⇒

nïë = nâ

δ−1 . δ − n2â

Òàê êàê δ = (75/34)2 ≈ 4,866, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ïëàñòèíû (àêðèëà) ðàâåí r 3,866 nïë = 1,334 · ≈ 1,49. 4,866 − 1,780

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Òîëùèíó ïëàñòèíû îïðåäåëèì èç ôîðìóëû äëÿ D0 :

d=

D0 p 2 34 ìì p nïë − 1 = 1,492 − 1 ≈ 9,4 ìì. 4 4

Îöåíèì òåïåðü ïîãðåøíîñòè ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé.

εδ = 2εD0 + 2εD2 =

2 · 1 ìì 2 · 1 ìì + = 0,08 34 ìì 75 ìì

∆δ = δ · εδ = 0,4.

Èñïîëüçóÿ ìàëîñòü ïîãðåøíîñòè nâ , âû÷èñëèì ∆nïë :

εnïë =

1 1 1 · − ∆δ = 0,012 2 δ − 1 δ − n2â

∆nïë = nïë · εnïë = 0,02.

∆d = dεd ≈ 0,5.

Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ïðè íàõîæäåíèè ∆d:

εd = εD0 +

nïë ∆nïë = 0,055 n2ïë − 1

Âîçüì¼ì øàáëîí è âûðîâíÿåì åãî ïîâåðõíîñòü, ïðèæàâ êðàÿ ê ñòîëó èìåþùèìñÿ îáîðóäîâàíèåì (øòàòèâîì, îáîèìè ñîñóäàìè). Ïðèëîæèì ëèíåéêó ê øêàëå, íàïå÷àòàííîé íà øàáëîíå, è íàéä¼ì öåíó äåëåíèÿ ýòîé øêàëû:

C=

80 ìì ≈ 0,762 ìì. 105

Ìåäëåííî è àêêóðàòíî ñ ïîìîùüþ øïðèöà íàëü¼ì âîäó íà ïîâåðõíîñòü øàáëîíà. Ïîëó÷èâøàÿñÿ ¾ëóæà¿ äîëæíà áûòü êàê ìîæíî áîëüøåãî ðàçìåðà (îðèåíòèðîâî÷íî, îáú¼ì íàëèòîé âîäû ≈ 80 ìë). Åñëè ïîñìîòðåòü íà â îòðàæåíèå â íàëèòîé ¾ëóæå¿, òî ïî îòñóòñòâèþ èñêàæåíèé ìîæíî îïðåäåëèòü, êàêàÿ ÷àñòü å¼ ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé. Âêëþ÷èì ëàçåð è ïîñâåòèì íà øàáëîí ñ âîäîé òàê, ÷òîáû ëó÷ ïàäàë íà ïîâåðõíîñòü øàáëîíà âïëîòíóþ ê øêàëå (íî íå íà íå¼!). Äîæäàâøèñü ïðåêðàùåíèÿ äâèæåíèÿ ãðàíèöû ¾ëóæè¿, èçìåðèì äèàìåòð ò¼ìíîãî ïÿòíà

Dê = 19 äåë = 19 · C = 19 · 0,762 ìì ≈ 14,5 ìì, ∆Dê = 1 äåë

εDê ≈ 6%.

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû èç ï. 1.1 âû÷èñëèì òîëùèíó ñëîÿ âîäû â ìåñòå, êóäà ñâåòèëè ëàçåðîì: Dê p 2 nâ − 1 ≈ 3,2 ìì. h= 4 Òàê êàê εnâ ≪ εh , îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè h è Dê ðàâíû, ïîýòîìó

∆h = h · εh = 0,2 ìì.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ãîðèçîíòàëüíûé ðàçìåð ¾ëóæè¿ ìíîãî áîëüøå å¼ òîëùèíû h, ïîýòîìó âåðõíÿÿ ïîâåðõíîñòü âîäû ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïëîñêîé. Ýòî äà¼ò âîçìîæíîñòü ñâÿçàòü òîëùèíó ñëîÿ âîäû ñ óãëîì ñìà÷èâàíèÿ, ðàññìàòðèâàÿ çàäà÷ó êàê äâóìåðíóþ. Ðàññìîòðèì ìàëåíüêèé ó÷àñòîê ñëîÿ æèäêîñòè øèðèíîé L è óñëîâèå å¼ ðàâíîâåñèÿ â ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü x (ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ýòîò ó÷àñòîê â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 4):

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Fäàâë θ F Ðèñ. 4

ρâ gLh2 , 2 ãäå F = σL  ñèëà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, pñð = ρâ gh/2  ñðåäíåå ïî âûñîòå ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå. Âûðàæàÿ îòñþäà h, ïîëó÷èì s r 2σ(1 − cos θ) σ θ h= =2 sin . ρâ g ρâ g 2 0 = F cos θ − F + pñð Lh = σL cos θ − σL +

Âû÷èñëèì òåïåðü çíà÷åíèå óãëà θ:  r  h ρâ g θ = 2 arcsin = 2 arcsin(0,58) = 72◦ . 2 σ

p Îöåíèì îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü àðãóìåíòà àðêñèíóñà A = 0,5h ρâ g/σ : εA = εh + 0,5(εσ + ερâ + εg ) = 7,8%. Îòêóäà

∆θ =

180◦ 2AεA ·√ ≈ 6◦ . π 1 − A2