Олимпиада по математике 8 класс — муниципальный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы
Официальный комплект муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8 класса (2023/2024 учебный год). Задания и решения с критериями оценивания — скачайте PDF или прорешайте онлайн по тексту ниже.
Задания — текст для прорешивания
Текст извлечён из официального PDF автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.
8 класс (32 балла) Задача 8.1. Найдите наименьшее натуральное 𝑛 такое, что 0,9…9 ⏟> 𝑛
2022 2023
Задача 8.2. В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Задача 8.3. Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘? Задача 8.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘ , проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋. На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает отрезки 𝐶𝑋 и 𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно, что 𝐾𝑁 = 9.
60∘
𝑋 𝐾
(а) (1 балл) Найдите длину отрезка 𝐶𝑁. (б) (3 балла) Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.
Задача 8.5. По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом? (б) (2 балла) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
Задача 8.6. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?
Задача 8.7. У Егора есть доска 5 × 5, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1. После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
Задача 8.8. На диагонали 𝐴𝐶 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑇 так, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝑇. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑇, ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶 = 132∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐶𝐷?
𝑇 𝐷
Ответы и решения — показать
Официальные ответы и критерии оценивания жюри. Сначала решите задания самостоятельно.
8 класс (ответы) Задача 8.1. Найдите наименьшее натуральное 𝑛 такое, что 0,9…9 ⏟> 𝑛
2022 2023
Ответ: 4. Задача 8.2. В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Ответ: 20. Задача 8.3. Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘?
Ответ: 55. Задача 8.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘ , проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋. На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает отрезки 𝐶𝑋 и 𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно, что 𝐾𝑁 = 9.
𝐵 60∘
𝑋 𝐾
(а) (1 балл) Найдите длину отрезка 𝐶𝑁. (б) (3 балла) Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.
Ответ: (а) 6. (б) 15. Задача 8.5. По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали.
(а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом? (б) (2 балла) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
Ответ: (а) 60. (б) 51. Задача 8.6. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?
Ответ: (а) 30. (б) 8. Задача 8.7. У Егора есть доска 5 × 5, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1. После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
Ответ: 5. Задача 8.8. На диагонали 𝐴𝐶 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑇 так, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝑇. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑇, ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶 = 132∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐶𝐷?
𝑇 𝐷
Ответ: 36.
Видеоразборы заданий
Теория к заданиям: математика, 8 класс
АлгебраДействия с рациональными дробями
АлгебраКвадратный корень: свойства и как решать
АлгебраПреобразования выражений с корнями
АлгебраКвадратное уравнение
АлгебраТеорема Виета
АлгебраФормулы площадей фигур 8 класс
ГеометрияТеорема Пифагора
ГеометрияПодобные треугольники: отношение сторон и признаки
ГеометрияСинус, косинус и тангенс угла
ГеометрияВписанные и описанные окружности
ГеометрияСредняя линия треугольника и трапеции
Геометрия