Олимпиада по математике 7 класс — муниципальный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

7 класс (ответы) Задача 7.1. Малыш может самостоятельно съесть торт за 30 минут, а Карлсон — за 6 минут. (а) (2 балла) Малыш и Карлсон нашли 12 тортов и решили их съесть. Малыш съел несколько тортов; за это же время Карлсон успел съесть все остальные. Сколько тортов съел Карлсон? (б) (2 балла) За сколько минут Малыш и Карлсон съели бы один торт, если бы действовали сообща?

Ответ: (а) 10. (б) 5. Задача 7.2. Четырёхзначное число 𝑁 состоит из ненулевых цифр, сумма которых равна 20. Известно, что сумма третьей и четвёртой цифры числа 𝑁 делится на его вторую цифру (нумерация цифр начинается слева). (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать 𝑁? (б) (2 балла) Какое наибольшее значение может принимать 𝑁?

Ответ: (а) 1199. (б) 9191. Задача 7.3. На прямой отмечены точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷. Получилось шесть отрезков: 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐴𝐷. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14.

(а) (2 балла) Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка. (б) (2 балла) Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.

Ответ: (а) 9 или 15. (б) 9, 15. Задача 7.4. У Кирилла, Льва, Миши и Николая есть несколько монет, в сумме всего 48. Они сделали следующие заявления: • Кирилл: «У меня монет в 2 раза меньше, чем у остальных в сумме»; • Лев: «У меня монет в 3 раза меньше, чем у остальных в сумме»; • Миша: «У меня монет в 4 раза меньше, чем у остальных в сумме»; • Коля: «У меня монет в 5 раз меньше, чем у остальных в сумме».

Известно, что ровно один из них обманул. (а) (1 балл) Кто из ребят обманул? (б) (3 балла) Сколько монет у того, кто обманул?

Ответ: а) Миша. б) 12. Задача 7.5. На рисунке изображены пять прямоугольников, площади четырёх из них указаны. Найдите площадь пятого прямоугольника.

21

14

Ответ: 10,5. Задача 7.6. В корзине лежат: • яблоки: 5 красных, 12 жёлтых и 16 зелёных; • груши: 14 красных, 13 жёлтых и 8 зелёных. (а) (2 балла) При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 фруктов обязательно найдутся одноцветные яблоко и груша? (б) (2 балла) При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 фруктов обязательно найдутся разноцветные яблоко и груша?

Ответ: (а) 44. (б) 36. Задача 7.7. Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например, • у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна 1 − 2 + 3 = 2; • у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна 1 − 2 = −1; • у числа 1 знакопеременная сумма цифр равна 1. Отличник Денис вычислил знакопеременную сумму цифр для всех натуральных чисел от 1 до 999 включительно, а затем сложил все полученные результаты. Какое число получил Денис? 2

Ответ: 4590. Задача 7.8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Однажды 30 островитян встали в круг. Каждого из них спросили: «Есть ли среди двух твоих соседей хотя бы один хитрец?». Было получено 13 ответов «Да» и 17 ответов «Нет». Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 30 островитян?

Ответ: 24.