Олимпиада по математике 8 класс — школьный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ по математике для 8 класса 2024/25 учебный год Максимальное количество баллов — 8

1. Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнюю его стороны на 9 равных частей каждую. Затем она провела 10 прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней, и так далее. После этого она поделила правую и левую стороны каждую на 8 равных частей и провела 7 горизонтальных прямых через точки деления. (На рисунке показан пример, когда сначала она провела 6 прямых сверху вниз, а затем 3 горизонтальных). На сколько частей эти прямые поделили квадрат? Решение. 10 прямых сверху вниз поделили квадрат на 9 + 9 + 2 частей. Затем каждая горизонтальная прямая, кроме той, что проведена посередине, делит на две 9 частей (либо сверху, либо снизу) и еще две (одну справа и одну слева). Таких делений 6. Каждое из них прибавляет 9 + 2 = 11 частей. Средняя горизонтальная прямая делит две части каждую на две (то есть, прибавляет две части). Итого: 20 + 11 · 6 + 2 = 88. Ответ. 88. 2. Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес стал на 20% больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы восстановить в форму, Кот в сапогах сел на диету, и вскоре обнаружил, что его вес уменьшился на 20% по сравнению с весом 10 января, и на 224 грамма по сравнению c весом до новогодних праздников. Сколько весил Кот в сапогах до новогодних праздников? В ответ запишите только число – вес Кота в сапогах до новогодних праздников в килограммах. Решение. Обозначим вес Кота в сапогах до новогодних праздников за x. Тогда его вес 10 января составлял 1,2x, поскольку 120% от числа - это 120 : 100 = 1,2 части от целого. Аналогично, после уменьшения веса на 20%, он стал равняться 1,2x · 0,8 = 0,96x. Этот вес на 224 грамма меньше изначального, то есть x. Значит, x − 0,96x = 224 грамма, то есть 1

0,04x = 224 грамма, откуда x = 5600 граммов, то есть 5,6 килограммов. Это и есть ответ. Ответ. 5,6. 3. Из клетчатого квадрата 8 × 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано? Решение. Пусть имеется k квадратов со стороной 1 и k квадратов со стороной 2. Тогда общая площадь, которую занимают эти фигуры, составляет k + 4 · k = 5 · k. Значит, площадь должна делиться на 5. Поскольку площадь исходного квадрата равна 4, а вырезали не более 4 клеток, то разность будет делиться на 5 только если вырезали 4 клетки. Покажем, что фигура с удаленными угловыми клетками условию удовлетворяет. Пример справа. 4. В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300, и что монет каких-то двух достоинств равное количество. Найдите это количество. Решение. Пусть у нас x, y и z рублёвых, двухрублёвых и пятирублёвых монет соответственно. По условию x + y + z = 300, x + 2y + 5z = 1000. Допустим, x = y. Тогда z = 300 − 2x, откуда x + 2x = 1000 − 5(300 − 2x), то есть 7x = 500, что невозможно, так как 500 не делится на 7. Допустим, x = z. Тогда y = 300 − 2x, откуда x + 5x = 1000 − 2(300 − 2x), то есть 2x = 400, x = 200 = z. Но тогда монет больше 300, что противоречит условию задачи. Значит, y = z. Тогда x = 300 − 2y, откуда 300 − 2y = 1000 − 2y − 5y, то есть 5y = 700 и y = z = 140, x = 20. Ответ. 140.

5. Сколько клеточных прямоугольников, содержащих хотя бы одну закрашенную клетку, изображено на рисунке? Любой квадрат (в частности, сам квадрат 5×5) является прямоугольником. Решение. Способов выбрать горизонтальные линии (столько же, сколько и вертикальных) 62·5 = 15. Таким образом, квадрат 5×5 содержит 15 · 15 = 225 прямоугольников. Из них не содержат закрашенные клетки 21 квадрат 1 × 1, 28 прямоугольников 1 × 2, 18 прямоугольников 1 × 3, 8 прямоугольников 1 × 4, 2 прямоугольника 1 × 5, 8 квадратов 2 × 2, 8 прямоугольников 2 × 3, 4 прямоугольника 2 × 4, 1 квадрат 3 × 3. Значит, число прямоугольников, содержащих хотя бы одну закрашенную клетку, равно 225 − 21 − 28 − 18 − 8 − 2 − 8 − 8 − 4 − 1 = 127 прямоугольников. Ответ. 127. 6. В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 50 ребят, среди которых половина рыцари, всегда говорящие правду, и половина - лжецы, которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший выбывал. В результате после нескольких игр ровно половина ребят выбыла. После этого событий каждый из оставшихся участников заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться участниками турнира? Решение. Каждый из оставшихся рыцарей выиграл ровно у одного рыцаря. Поэтому оставшихся рыцарей не больше, чем выбывших, то есть удвоенное количество оставшихся рыцарей не больше 25, следовательно, их не больше 12. Пример: один из рыцарей выигрывает у другого, затем половина оставшихся рыцарей выигрывает у одного из оставшихся, включая того, который выиграл у первого рыцаря (сначала 2-й рыцарь выиграет у 1-го, потом 3-й у 2-го, 5-й у 4-го и т. д. 25-й у 24-го), а среди 25 лжецов, например, один выиграет по очереди у 12 других лжецов. Ответ. 12.

7. Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите из приведенных чисел те, которые могли быть периметром прямоугольника Даши. • 50 • 52 • 54 • 100 • 206 Решение. Пусть Дашин прямоугольник имел длину x и ширину y. Тогда площади Катиного и Таниного прямоугольников равны, соответственно, (x − 2)(y + 3) и (x − 3)(y + 5). Приравняв эти два выражения, получим xy−2y+3x−6 = xy−3y+5x− 15, откуда y = 2x − 9. Тогда периметр Дашиного прямоугольника равен 2x + 2y = 6x − 18 = 6(x − 3). Это число кратно 6. Из приведенных чисел подходит только 54. Если 6x − 18 = 54, то x = 12. Тогда y = 2x − 9 = 15. Ответ. 54. 8. Угол C треугольника ABC равен 60◦. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка D так, что DC + CA = BC. Известно, что AB = 8. Найдите длину AD. Решение. На стороне CB отмеB тим точку E так, что CE = CA. Тогда треугольник ACE равносторонний, а EB = DC. Тогда заметим, что треугольник AEB равен треугольнику ADC (поскольку ∠AEB = ∠ACD = 120◦, BE = CD, AE = AC). Тогда AD = 8. Ответ. 8. A D