Олимпиада по математике 11 класс — муниципальный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

11 класс (ответы) Задача 11.1. Каждое из натуральных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения 1

𝑎+ 𝑏+

1 𝑐+

1 𝑑

Ответ: 55 = 6,875. 8 Задача 11.2. Дана правильная десятиугольная призма 𝐴1 𝐴2 … 𝐴10 𝐵1 𝐵2 … 𝐵10 . Некоторая плоскость 𝛼 пересекает 𝑛 её рёбер, не проходя ни через одну из точек 𝐴1 , … , 𝐴10 , 𝐵1 , … , 𝐵10 . (а) (1 балл) Какое наименьшее натуральное значение может принимать 𝑛? (б) (3 балла) Какое наибольшее натуральное значение может принимать 𝑛?

Ответ: а) 3. б) 12. Задача 11.3. Назовём хорошей пару (𝑎, 𝑏) натуральных чисел, лежащих на отрезке [100; 240], если число √𝑎 + √𝑏 является целым. Сколько существует хороших пар?

Ответ: 30. Задача 11.4. На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, одинаковые по количеству человек (возможно, группа была всего одна). В каждую группу он захотел добавить по одной девочке, но девочек оказалось на одну больше, чем групп. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке? (б) (2 балла) Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.

Ответ: (а) 45. (б) 2, 3, 24. Задача 11.5. Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток. Пару натуральных чисел (𝑚, 𝑛) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица 𝑚 × 𝑛, причём 10 ⩽ 𝑚 ⩽ 20 и 10 ⩽ 𝑛 ⩽ 20. Сколько существует подходящих пар? (Если числа 𝑚 и 𝑛 различны, то пары (𝑚, 𝑛) и (𝑛, 𝑚) считаются различными.)

Ответ: 31. 1

Задача 11.6. В окружность 𝜔 вписана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 такая, что 𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷, 𝐴𝐷 = 14 и 𝐵𝐶 = 9. Пусть 𝑀 — середина дуги 𝐴𝐷 окружности 𝜔, не содержащей точек 𝐵 и 𝐶. Прямая ℓ касается 𝜔 в точке 𝐶. Пусть 𝐻 — основание перпендикуляра, опущенного из 𝑀 на ℓ. Найдите длину отрезка 𝐶𝐻.

Ответ: 4,5. Задача 11.7. Многочлен 𝑃(𝑥) с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных 𝑥 верно 𝑃(𝑥2 ) = 𝑥(1 + 𝑥2 )𝑃(𝑥). (а) (1 балл) Найдите 𝑃(−1). (б) (3 балла) Найдите

𝑃(5) 𝑃(2)

Ответ: а) 0. б) 20. Задача 11.8. Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит 𝑎 камней, а на правой — 𝑏 камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра. Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее 0). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество ходов может быть сделано в игре, если 𝑎 = 7 и 𝑏 = 10? (б) (3 балла) Рассмотрим все пары натуральных чисел (𝑎, 𝑏) такие, что 1 ⩽ 𝑎 ⩽ 10 и 1 ⩽ 𝑏 ⩽ 10. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа 𝑎 и 𝑏 различны, то пары (𝑎, 𝑏) и (𝑏, 𝑎) считаются различными.)

Ответ: а) 17. б) 90.