Номер 204 — Геометрия 10 класс

Прямая OM перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр O этого треугольника, OM = a, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки M до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых AB, BC и CA; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

1. а) Из прямоугольного треугольника MOC: MC = a/sin φ — расстояние до каждой вершины (наклонные равны). OC = R = a·ctg φ. Радиус вписанной окружности r = R/2 = (a·ctg φ)/2; расстояние от M до каждой стороны равно √(a² + r²) = √(a² + a²ctg²φ/4) = (a/2)√(4 + ctg²φ).
2. б) Длина описанной окружности: 2πR = 2πa·ctg φ.
3. в) Сторона треугольника AB = R√3 = a√3·ctg φ; S = AB²√3/4 = 3√3·a²·ctg²φ/4.