Номер 228 — Геометрия 10 класс

Основанием наклонной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором AC = AB = 13 см, BC = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины A₁ является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани CC₁B₁B.

1. Пусть M — середина BC: AM = √(169 − 25) = 12 см, точка пересечения медиан G лежит на AM, AG = 8 см. Угол A₁AG = 45°, поэтому AA₁ = AG/cos 45° = 8√2 см.
2. AM ⟂ BC, а A₁ проектируется на прямую AM, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах AA₁ ⟂ BC, и BB₁ ⟂ BC. Грань CC₁B₁B — прямоугольник со сторонами BC = 10 и BB₁ = 8√2.
3. S = 10·8√2 = 80√2 см² ≈ 113 см².