Номер 73 — Геометрия 10 класс

В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами рёбер AB, BC и CD, AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырёхугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

1. MN — средняя линия треугольника ABC: MN ∥ AC, значит AC ∥ (MNP). Плоскость ACD проходит через AC и точку P, поэтому пересекает (MNP) по прямой, проходящей через P параллельно AC; в треугольнике ACD эта прямая проходит через середину CD, значит через середину K ребра AD.
2. Сечение — четырёхугольник MNPK: MN = KP = ½AC = 5 см, NP = MK = ½BD = 6 см (средние линии).
3. P = 5 + 6 + 5 + 6 = 22 см.