Номер 74 — Геометрия 10 класс

Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

1. а) Секущая плоскость параллельна (ABC), поэтому пересекает грани DAB, DBC, DCA по прямым A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁A₁ ∥ CA (A₁, B₁, C₁ на рёбрах DA, DB, DC). Треугольники A₁B₁C₁ и ABC имеют соответственно параллельные стороны, их углы равны — треугольники подобны.
2. б) Точка пересечения медиан грани BCD лежит на медиане DM (M — середина BC) и делит её в отношении 2 : 1 от D. Сечение пересекает DM в этой точке, а плоскость DBC — по прямой B₁C₁ ∥ BC, поэтому DB₁/DB = 2/3 — коэффициент подобия k = 2/3.
3. Отношение площадей равно k² = 4/9.