Номер 82 — Геометрия 10 класс

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте внутреннюю точку M грани AA₁B₁B. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку M параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB₁C₁C; в) плоскости BDD₁.

1. Секущая плоскость, параллельная данной, пересекает грани по прямым, параллельным линиям пересечения данной плоскости с теми же гранями.
2. а) Через M проводим в грани AA₁B₁B прямую, параллельную AB, до рёбер AA₁ и BB₁; затем через полученные точки — прямые, параллельные AD и BC, в боковых гранях, и замыкаем сечение прямой, параллельной DC. Сечение — параллелограмм, равный основанию.
3. б) Через M проводим прямую, параллельную BB₁ (пересекает AB и A₁B₁), затем в верхнем и нижнем основаниях — прямые, параллельные B₁C₁ и BC, и замыкаем в задней грани прямой, параллельной CC₁. Сечение — параллелограмм, равный грани BB₁C₁C.
4. в) Плоскость BDD₁ пересекает грани по BD, DD₁, D₁B₁, B₁B. Через M проводим прямую, параллельную BB₁ (точки P на AB и P₁ на A₁B₁), через P — прямую, параллельную BD, в основании ABCD до пересечения с AD в точке Q, через P₁ — параллельную B₁D₁ до Q₁ на A₁D₁; замыкаем отрезком QQ₁ ∥ DD₁. Сечение — параллелограмм PP₁Q₁Q.