Условие
Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2φ. Найдите объём пирамиды.
Разбор задания
Номер 531 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- Пусть R — радиус описанной около основания окружности, a = R√3 — сторона. Линейный угол двугранного угла при ребре SA: перпендикуляры BK и CK из B и C к SA образуют угол BKC = 2φ, BK = CK, поэтому BK = a/(2sin φ).
- С другой стороны, BK — расстояние от B до прямой SA. Из формулы для синуса угла SAB (координаты или теорема косинусов) получаем BK² = 3R²(R² + 4h²)/(4(R² + h²)). Приравнивая к 3R²/(4sin²φ): (R² + 4h²)sin²φ = R² + h², откуда R² = h²(4sin²φ − 1)/cos²φ.
- a² = 3R² = 3h²(4sin²φ − 1)/cos²φ, S(осн) = a²√3/4. V = ⅓·S·h = √3h³(4sin²φ − 1)/(4cos²φ).
Ответ
√3h³(4sin²φ − 1)/(4cos²φ).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →