Условие
В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом α при основании вписан шар объёма V. Найдите объём пирамиды.
Разбор задания
Номер 547 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- Радиус шара ρ = ∛(3V/(4π)). Центр шара лежит на высоте, а в сечении, проходящем через высоту и апофему, ρ = r·tg(α/2), где r — радиус вписанной в основание окружности: r = ρ·ctg(α/2).
- Сторона основания a = 2√3r, S(осн) = 3√3r², высота h = r·tg α. V(пир) = ⅓·3√3r²·r·tg α = √3r³tg α = √3ρ³·ctg³(α/2)·tg α.
- Подставляя ρ³ = 3V/(4π): V(пир) = 3√3V·tg α·ctg³(α/2)/(4π).
Ответ
3√3V·tg α·ctg³(α/2)/(4π).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →