Условие
Основанием четырёхугольной пирамиды с вершиной P является трапеция ABCD. Точка O — середина средней линии трапеции. Докажите, что PA⃗ + PB⃗ + PC⃗ + PD⃗ = 4PO⃗.
Разбор задания
Номер 578 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Пусть MN — средняя линия (M — середина AD, N — середина BC), O — её середина. По правилу треугольника PA⃗ = PO⃗ + OA⃗, PB⃗ = PO⃗ + OB⃗, PC⃗ = PO⃗ + OC⃗, PD⃗ = PO⃗ + OD⃗.
- Сумма: PA⃗ + PB⃗ + PC⃗ + PD⃗ = 4PO⃗ + (OA⃗ + OD⃗) + (OB⃗ + OC⃗). Так как M — середина AD, OA⃗ + OD⃗ = 2OM⃗; так как N — середина BC, OB⃗ + OC⃗ = 2ON⃗; а O — середина MN, поэтому OM⃗ + ON⃗ = 0⃗.
- Итак, PA⃗ + PB⃗ + PC⃗ + PD⃗ = 4PO⃗.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →