Номер 579 — Геометрия 11 класс

Точка P — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке P, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами.

1. Пусть A₁…A₆ — вершины основания, H₁, …, H₆ — середины сторон A₁A₂, A₂A₃, …, A₆A₁ (основания апофем PH₁, …, PH₆).
2. Для каждой боковой грани PA_iA_{i+1}: PA_i⃗ + PA_{i+1}⃗ = 2PH_i⃗, так как H_i — середина A_iA_{i+1} (PA_i⃗ = PH_i⃗ + H_iA_i⃗, PA_{i+1}⃗ = PH_i⃗ + H_iA_{i+1}⃗, а H_iA_i⃗ + H_iA_{i+1}⃗ = 0⃗).
3. Сложим эти равенства по всем шести граням: каждое боковое ребро входит в две грани, поэтому слева получится 2(PA₁⃗ + … + PA₆⃗), справа 2(PH₁⃗ + … + PH₆⃗). Значит, суммы равны.