Условие
Три точки A, B и M удовлетворяют условию AM⃗ = λ·MB⃗, где λ ≠ −1. Докажите, что точки A, B и M лежат на одной прямой и для любой точки O пространства выполняется равенство OM⃗ = (OA⃗ + λ·OB⃗)/(1 + λ).
Разбор задания
Номер 586 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Векторы AM⃗ и MB⃗ коллинеарны и имеют общую точку M, поэтому прямые AM и MB совпадают: точки A, B, M лежат на одной прямой.
- AM⃗ = OM⃗ − OA⃗, MB⃗ = OB⃗ − OM⃗. Подставим: OM⃗ − OA⃗ = λ(OB⃗ − OM⃗), (1 + λ)OM⃗ = OA⃗ + λOB⃗, и так как λ ≠ −1, OM⃗ = (OA⃗ + λOB⃗)/(1 + λ).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →