Условие
Векторы a⃗, b⃗, c⃗ попарно не сонаправлены, p⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗. Докажите, что |p⃗| < |a⃗| + |b⃗| + |c⃗|.
Разбор задания
Номер 587 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Отложим AB⃗ = a⃗, BC⃗ = b⃗, CD⃗ = c⃗; тогда AD⃗ = p⃗.
- По неравенству треугольника AC ≤ AB + BC, причём равенство только при сонаправленных a⃗ и b⃗ — этот случай исключён, значит AC < AB + BC. Далее AD ≤ AC + CD.
- Итак, |p⃗| = AD ≤ AC + CD < AB + BC + CD = |a⃗| + |b⃗| + |c⃗|.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →