Номер 591 — Геометрия 11 класс

Докажите, что если векторы a⃗ + b⃗ и a⃗ − b⃗ не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) a⃗ и b⃗; б) a⃗ + 2b⃗ и 2a⃗ − b⃗.

1. а) Предположим, что a⃗ и b⃗ коллинеарны, b⃗ ≠ 0⃗: a⃗ = k·b⃗. Тогда a⃗ + b⃗ = (k + 1)b⃗ и a⃗ − b⃗ = (k − 1)b⃗ — оба коллинеарны b⃗, а значит коллинеарны между собой (если один из них нулевой, тем более). Противоречие. Случай b⃗ = 0⃗ также невозможен (тогда a⃗ + b⃗ = a⃗ − b⃗).
2. б) Предположим, что a⃗ + 2b⃗ = k(2a⃗ − b⃗). Тогда (2 + k)b⃗ = (2k − 1)a⃗, откуда a⃗ и b⃗ коллинеарны (как в пункте а), либо один из них нулевой), а по пункту а) это невозможно. Значит, a⃗ + 2b⃗ и 2a⃗ − b⃗ не коллинеарны.