Условие
Точки E и F — середины рёбер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE⃗ = BA⃗ + DC⃗. Компланарны ли векторы FE⃗, BA⃗ и DC⃗?
Разбор задания
Номер 593 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- FE⃗ = FB⃗ + BA⃗ + AE⃗ и FE⃗ = FD⃗ + DC⃗ + CE⃗. Сложим: 2FE⃗ = (FB⃗ + FD⃗) + BA⃗ + DC⃗ + (AE⃗ + CE⃗). Так как F — середина BD, FB⃗ + FD⃗ = 0⃗; так как E — середина AC, AE⃗ + CE⃗ = 0⃗.
- Значит, 2FE⃗ = BA⃗ + DC⃗, то есть FE⃗ = ½BA⃗ + ½DC⃗ — вектор FE⃗ разложен по векторам BA⃗ и DC⃗. По признаку компланарности три вектора компланарны.
Ответ
Доказано; да, компланарны.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →