Номер 597 — Геометрия 11 класс

В вершинах A₁, B и D куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно a, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряжённость создаваемого ими электрического поля в точках A и C₁ через вектор AC₁⃗. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости в точках C, B₁, в центре грани A₁B₁C₁D₁ и в центре куба. (Напряжённость поля точечного заряда q в точке M равна (kq/r³)·QM⃗, где Q — точка заряда, r = QM.)

1. а) В точке A все три расстояния равны a: E⃗(A) = (kq/a³)(A₁A⃗ + BA⃗ + DA⃗) = −(kq/a³)(AA₁⃗ + AB⃗ + AD⃗) = −(kq/a³)AC₁⃗. В точке C₁ расстояния равны диагонали грани a√2: E⃗(C₁) = (kq/(2√2a³))(A₁C₁⃗ + BC₁⃗ + DC₁⃗) = (kq/(2√2a³))·2(AB⃗ + AD⃗ + AA₁⃗) = (√2kq/(2a³))AC₁⃗.
2. б) Точка C: расстояния до B и D равны a, до A₁ — a√3. В координатах с началом A и осями по рёбрам: E⃗(C) = (kq/a²)·[(0;1;0) + (1;0;0) + (1;1;−1)/(3√3)], |E| = (kq/a²)√(2(1 + 1/(3√3))² + 1/27) = (kq/(3a²))√(19 + 4√3). Точка B₁ расположена относительно зарядов так же (расстояния a, a, a√3), поэтому |E(B₁)| = (kq/(3a²))√(19 + 4√3).
3. Центр грани A₁B₁C₁D₁: расстояние до A₁ равно a√2/2, до B и D — a√6/2. Суммируя векторы, получаем |E| = (kq/a²)√(4 + 32/27) = (2kq/(9a²))√105. Центр куба O: все расстояния a√3/2, сумма единичных векторов имеет длину 1 (A₁O⃗ + BO⃗ + DO⃗ = ½(1;1;1)·a по модулю a√3/2), |E| = kq·(a√3/2)/(a√3/2)³ = 4kq/(3a²).