Условие
Точка K — середина ребра B₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите вектор AK⃗ по векторам a⃗ = AB⃗, b⃗ = AD⃗, c⃗ = AA₁⃗ и вычислите его длину, если ребро куба равно m.
Разбор задания
Номер 601 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Идём из A в K по рёбрам: AK⃗ = AB⃗ + BB₁⃗ + B₁K⃗. Здесь BB₁⃗ = AA₁⃗ = c⃗, а B₁K⃗ = ½B₁C₁⃗ = ½AD⃗ = ½b⃗.
- Итак, AK⃗ = a⃗ + ½b⃗ + c⃗.
- Длина: векторы a⃗, b⃗, c⃗ попарно перпендикулярны и имеют длину m, поэтому AK² = m² + (m/2)² + m² = 9m²/4, AK = 3m/2. (То же получается из прямоугольного треугольника ABK: BK = m√5/2, AK = √(m² + 5m²/4).)
Ответ
AK⃗ = a⃗ + ½b⃗ + c⃗; AK = 3m/2.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →