Условие
Точка M — точка пересечения медиан треугольника ABC, O — произвольная точка пространства. Докажите, что OM⃗ = ⅓(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗).
Разбор задания
Номер 603 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Пусть A₁ — середина BC. Тогда OA₁⃗ = ½(OB⃗ + OC⃗).
- Точка M делит медиану AA₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины, то есть AM⃗ = ⅔AA₁⃗ = ⅔(OA₁⃗ − OA⃗).
- Поэтому OM⃗ = OA⃗ + AM⃗ = OA⃗ + ⅔OA₁⃗ − ⅔OA⃗ = ⅓OA⃗ + ⅔·½(OB⃗ + OC⃗) = ⅓(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →