Условие
В правильном тетраэдре ABCD высоты AM и DN (M — центр грани BCD, N — центр грани ABC) пересекаются в точке K. Разложите по векторам a⃗ = DA⃗, b⃗ = DB⃗, c⃗ = DC⃗ векторы: а) DN⃗; б) DK⃗; в) AM⃗; г) MK⃗.
Разбор задания
Номер 607 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины, попадает в точку пересечения медиан противоположной грани, поэтому N и M — центры (точки пересечения медиан) граней ABC и BCD.
- а) N — точка пересечения медиан треугольника ABC, D — точка пространства: DN⃗ = ⅓(DA⃗ + DB⃗ + DC⃗) = ⅓a⃗ + ⅓b⃗ + ⅓c⃗.
- б) Пусть E — середина ребра BC. Тогда N лежит на медиане EA грани ABC, M — на медиане ED грани BCD, причём EN = ⅓EA и EM = ⅓ED. Отсюда NM ∥ AD и NM = ⅓AD (треугольники ENM и EAD подобны). Из подобия треугольников KNM и KAD получаем NK : KD = NM : AD = 1 : 3, значит DK = ¾DN и DK⃗ = ¾DN⃗ = ¼a⃗ + ¼b⃗ + ¼c⃗.
- в) M — точка пересечения медиан треугольника BCD, поэтому AM⃗ = ⅓(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗) = ⅓((b⃗ − a⃗) + (c⃗ − a⃗) − a⃗) = −a⃗ + ⅓b⃗ + ⅓c⃗.
- г) Точно так же MK : KA = 1 : 3, поэтому MK⃗ = ¼MA⃗ = −¼AM⃗ = ¼a⃗ − (1/12)b⃗ − (1/12)c⃗.
Ответ
а) DN⃗ = ⅓a⃗ + ⅓b⃗ + ⅓c⃗; б) DK⃗ = ¼a⃗ + ¼b⃗ + ¼c⃗; в) AM⃗ = −a⃗ + ⅓b⃗ + ⅓c⃗; г) MK⃗ = ¼a⃗ − (1/12)b⃗ − (1/12)c⃗.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →