Номер 610 — Геометрия 11 класс

Точки A₁, B₁, C₁ и M₁ — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки M пересечения его медиан (треугольник не пересекает плоскость α). Докажите, что MM₁ = ⅓(AA₁ + BB₁ + CC₁). Останется ли равенство верным, если какие-то стороны треугольника ABC пересекают плоскость α?

1. Все четыре перпендикуляра к плоскости α параллельны, а раз треугольник не пересекает α, векторы AA₁⃗, BB₁⃗, CC₁⃗, MM₁⃗ сонаправлены.
2. Запишем MM₁⃗ тремя способами: MM₁⃗ = MA⃗ + AA₁⃗ + A₁M₁⃗ = MB⃗ + BB₁⃗ + B₁M₁⃗ = MC⃗ + CC₁⃗ + C₁M₁⃗. Сложим: 3MM₁⃗ = (MA⃗ + MB⃗ + MC⃗) + (AA₁⃗ + BB₁⃗ + CC₁⃗) + (A₁M₁⃗ + B₁M₁⃗ + C₁M₁⃗).
3. MA⃗ + MB⃗ + MC⃗ = 0⃗, так как M — точка пересечения медиан. При параллельном проектировании середины отрезков переходят в середины, а медианы — в медианы, поэтому M₁ — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁ и A₁M₁⃗ + B₁M₁⃗ + C₁M₁⃗ = 0⃗.
4. Получаем MM₁⃗ = ⅓(AA₁⃗ + BB₁⃗ + CC₁⃗). Для сонаправленных векторов длина суммы равна сумме длин, значит MM₁ = ⅓(AA₁ + BB₁ + CC₁).
5. Если стороны треугольника пересекают α, то часть векторов AA₁⃗, BB₁⃗, CC₁⃗ направлена в противоположную сторону. Векторное равенство сохраняется, но для длин оно перестаёт быть верным (например, при AA₁ = BB₁ = CC₁ и вершине C по другую сторону плоскости точка M₁ ближе к плоскости, чем ⅓ суммы).