Условие
Докажите, что диагональ AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится этими точками на три равных отрезка.
Разбор задания
Номер 609 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Пусть M₁ — точка пересечения медиан треугольника A₁BD. Тогда AM₁⃗ = ⅓(AA₁⃗ + AB⃗ + AD⃗) = ⅓AC₁⃗ (по правилу параллелепипеда AB⃗ + AD⃗ + AA₁⃗ = AC₁⃗). Значит, M₁ лежит на диагонали AC₁ и AM₁ = ⅓AC₁.
- Пусть M₂ — точка пересечения медиан треугольника CB₁D₁. Тогда C₁M₂⃗ = ⅓(C₁C⃗ + C₁B₁⃗ + C₁D₁⃗) = ⅓C₁A⃗ (сумма трёх рёбер из вершины C₁ равна диагонали C₁A). Значит, M₂ лежит на AC₁ и C₁M₂ = ⅓AC₁.
- Итак, точки M₁ и M₂ лежат на AC₁ и отсекают от концов по трети диагонали: AM₁ = M₁M₂ = M₂C₁ = ⅓AC₁.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →