Условие
Точка O — точка пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD. Докажите, что AO < ⅓(AB + AC + AD).
Разбор задания
Номер 608 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- По формуле для точки пересечения медиан: AO⃗ = ⅓(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗).
- Длина суммы векторов не превосходит суммы их длин, причём равенство достигается только для сонаправленных векторов. Векторы AB⃗, AC⃗, AD⃗ не сонаправлены (точки B, C, D не лежат на одном луче из A, иначе тетраэдра не было бы), поэтому неравенство строгое:
- AO = ⅓|AB⃗ + AC⃗ + AD⃗| < ⅓(|AB⃗| + |AC⃗| + |AD⃗|) = ⅓(AB + AC + AD).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →