Условие
Отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости, точки M и N — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что MN < ½(AC + BD).
Разбор задания
Номер 611 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Запишем NM⃗ двумя способами: NM⃗ = NC⃗ + CA⃗ + AM⃗ и NM⃗ = ND⃗ + DB⃗ + BM⃗. Сложим: 2NM⃗ = (NC⃗ + ND⃗) + (AM⃗ + BM⃗) + CA⃗ + DB⃗ = CA⃗ + DB⃗, так как NC⃗ + ND⃗ = 0⃗ и AM⃗ + BM⃗ = 0⃗.
- Итак, NM⃗ = ½(CA⃗ + DB⃗), откуда MN ≤ ½(|CA⃗| + |DB⃗|) = ½(AC + BD).
- Равенство возможно только при сонаправленных CA⃗ и DB⃗, но тогда прямые AC и BD параллельны и отрезки AB, CD лежат в одной плоскости — противоречие с условием. Значит, MN < ½(AC + BD).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →