Условие
Точка K — середина ребра AB тетраэдра ABCD, точка M — середина ребра CD. Докажите, что середины отрезков KC, KD, MA и MB являются вершинами параллелограмма.
Разбор задания
Номер 612 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Обозначим середины: F — середина KC, H — середина KD, E — середина MA, G — середина MB. Возьмём произвольную точку O и выразим через неё векторы.
- OF⃗ = ½(OK⃗ + OC⃗), OH⃗ = ½(OK⃗ + OD⃗), OE⃗ = ½(OM⃗ + OA⃗), OG⃗ = ½(OM⃗ + OB⃗), где OK⃗ = ½(OA⃗ + OB⃗), OM⃗ = ½(OC⃗ + OD⃗).
- Середина отрезка FG: ½(OF⃗ + OG⃗) = ¼(OK⃗ + OC⃗ + OM⃗ + OB⃗) = ¼(½OA⃗ + ½OB⃗ + OC⃗ + ½OC⃗ + ½OD⃗ + OB⃗) = ⅛OA⃗ + ⅜OB⃗ + ⅜OC⃗ + ⅛OD⃗.
- Середина отрезка EH: ½(OE⃗ + OH⃗) = ¼(OM⃗ + OA⃗ + OK⃗ + OD⃗) = ¼(½OC⃗ + ½OD⃗ + OA⃗ + ½OA⃗ + ½OB⃗ + OD⃗) = ⅜OA⃗ + ⅛OB⃗ + ⅛OC⃗ + ⅜OD⃗.
- Эти точки различны, поэтому проверим другую пару: середина FH: ¼(2OK⃗ + OC⃗ + OD⃗) = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗); середина EG: ¼(2OM⃗ + OA⃗ + OB⃗) = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗). Середины отрезков FH и EG совпадают, значит четырёхугольник FEHG (с диагоналями FH и EG) — параллелограмм: его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →