Условие
На рисунке 120 изображён правильный октаэдр ABCDEF (все рёбра равны; A и F, B и D, C и E — противоположные вершины). Докажите, что: а) AB⃗ + FB⃗ = DB⃗; б) AC⃗ − CF⃗ = EC⃗; в) AB⃗ + AC⃗ + AD⃗ + AE⃗ = 2AF⃗.
Разбор задания
Номер 614 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Сечения октаэдра ABFD и ACFE — квадраты (у них все стороны — рёбра октаэдра, а диагонали AF, BD, CE взаимно перпендикулярны и делятся пополам центром).
- а) BA⃗ + BF⃗ = BD⃗ (правило параллелограмма в квадрате ABFD). Умножив на −1: AB⃗ + FB⃗ = DB⃗.
- б) AC⃗ − CF⃗ = AC⃗ + FC⃗ = −(CA⃗ + CF⃗) = −CE⃗ = EC⃗ (в квадрате ACFE сумма CA⃗ + CF⃗ равна диагонали CE⃗).
- в) AB⃗ + AD⃗ = AF⃗ (квадрат ABFD), AC⃗ + AE⃗ = AF⃗ (квадрат ACFE). Складывая, получаем AB⃗ + AC⃗ + AD⃗ + AE⃗ = 2AF⃗.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →