Номер 618 — Геометрия 11 класс

Даны треугольники ABC и A₁B₁C₁ и точки O и P такие, что OA⃗ + OP⃗ = OA₁⃗, OB⃗ + OP⃗ = OB₁⃗, OC⃗ + OP⃗ = OC₁⃗. Докажите, что стороны треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.

1. Из первого равенства OP⃗ = OA₁⃗ − OA⃗ = AA₁⃗. Аналогично OP⃗ = BB₁⃗ и OP⃗ = CC₁⃗.
2. Значит, AA₁⃗ = BB₁⃗ = CC₁⃗ = OP⃗: треугольник A₁B₁C₁ получен из ABC параллельным переносом на вектор OP⃗.
3. Тогда A₁B₁⃗ = A₁A⃗ + AB⃗ + BB₁⃗ = −OP⃗ + AB⃗ + OP⃗ = AB⃗; точно так же B₁C₁⃗ = BC⃗, A₁C₁⃗ = AC⃗. Равенство векторов означает, что соответствующие стороны равны и параллельны.