Номер 620 — Геометрия 11 класс

Известно, что при некоторых числах k ≠ l векторы a⃗ + k·b⃗ и a⃗ + l·b⃗ не коллинеарны. Докажите, что: а) векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны; б) векторы a⃗ + k₁·b⃗ и a⃗ + l₁·b⃗ не коллинеарны при любых k₁ ≠ l₁.

1. а) От противного: пусть a⃗ и b⃗ коллинеарны. Если b⃗ = 0⃗, то оба вектора равны a⃗ и коллинеарны — противоречие. Если b⃗ ≠ 0⃗, то a⃗ = t·b⃗ и a⃗ + k·b⃗ = (t + k)b⃗, a⃗ + l·b⃗ = (t + l)b⃗ — оба коллинеарны b⃗, а значит и друг другу. Противоречие. Итак, a⃗ и b⃗ не коллинеарны.
2. б) От противного: пусть a⃗ + k₁·b⃗ и a⃗ + l₁·b⃗ коллинеарны, тогда один из них выражается через другой: a⃗ + k₁·b⃗ = m(a⃗ + l₁·b⃗) (ни один из них не нулевой, иначе a⃗ и b⃗ коллинеарны). Отсюда (1 − m)a⃗ = (m·l₁ − k₁)b⃗.
3. Если m ≠ 1, то a⃗ = ((m·l₁ − k₁)/(1 − m))b⃗ — векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны, что противоречит п. а). Если m = 1, то (l₁ − k₁)b⃗ = 0⃗, и при k₁ ≠ l₁ получаем b⃗ = 0⃗ — тогда a⃗ и b⃗ коллинеарны, снова противоречие. Значит, векторы не коллинеарны.