Условие
Точки E, F, K и N — середины сторон AB, BC, CD и DA пространственного четырёхугольника ABCD, M — точка пересечения отрезков EK и FN, O — произвольная точка пространства. Докажите, что OM⃗ = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
Разбор задания
Номер 622 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- EF и NK — средние линии треугольников ABC и ADC, поэтому EF⃗ = ½AC⃗ = NK⃗. Значит, EFKN — параллелограмм, его диагонали EK и FN пересекаются в точке M и делятся ею пополам.
- Тогда OM⃗ = ½(OE⃗ + OK⃗), где OE⃗ = ½(OA⃗ + OB⃗), OK⃗ = ½(OC⃗ + OD⃗).
- OM⃗ = ½(½(OA⃗ + OB⃗) + ½(OC⃗ + OD⃗)) = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →