Условие
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что для любой точки M пространства справедливо неравенство MO < ¼(MA + MB + MC + MD).
Разбор задания
Номер 623 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- O — середина обеих диагоналей, поэтому MO⃗ = ½(MA⃗ + MC⃗) и MO⃗ = ½(MB⃗ + MD⃗). Складывая, получаем 2MO⃗ = ½(MA⃗ + MB⃗ + MC⃗ + MD⃗), то есть MO⃗ = ¼(MA⃗ + MB⃗ + MC⃗ + MD⃗).
- Длина суммы векторов не превосходит суммы длин: MO ≤ ¼(MA + MB + MC + MD), причём равенство достигается только если все четыре вектора сонаправлены.
- Но векторы MA⃗ и MC⃗ не могут быть сонаправлены одновременно с MB⃗ и MD⃗: тогда все точки A, B, C, D лежали бы на одном луче из M, а вершины параллелограмма на одной прямой не лежат. Значит, неравенство строгое.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →