Условие
Три точки M, N и P лежат на одной прямой, а точка O не лежит на этой прямой. Выразите вектор OP⃗ через векторы OM⃗ и ON⃗, если: а) NP⃗ = 2MN⃗; б) MP⃗ = −½PN⃗; в) MP⃗ = k·MN⃗, где k — данное число.
Разбор задания
Номер 624 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Во всех случаях MN⃗ = ON⃗ − OM⃗ и OP⃗ = OM⃗ + MP⃗ (или ON⃗ + NP⃗).
- а) OP⃗ = ON⃗ + NP⃗ = ON⃗ + 2MN⃗ = ON⃗ + 2(ON⃗ − OM⃗) = 3ON⃗ − 2OM⃗.
- б) MP⃗ = −½PN⃗ = ½NP⃗. Так как NP⃗ = NM⃗ + MP⃗, получаем MP⃗ = ½NM⃗ + ½MP⃗, откуда MP⃗ = NM⃗ = OM⃗ − ON⃗ (P симметрична N относительно M). Тогда OP⃗ = OM⃗ + MP⃗ = 2OM⃗ − ON⃗.
- в) OP⃗ = OM⃗ + k·MN⃗ = OM⃗ + k(ON⃗ − OM⃗) = (1 − k)OM⃗ + k·ON⃗.
Ответ
а) OP⃗ = 3ON⃗ − 2OM⃗; б) OP⃗ = 2OM⃗ − ON⃗; в) OP⃗ = (1 − k)OM⃗ + k·ON⃗.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →