Номер 625 — Геометрия 11 класс

Докажите, что векторы p⃗, a⃗ и b⃗ компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.

1. Векторы компланарны, если при откладывании от одной точки они лежат в одной плоскости.
2. а) Пусть p⃗ = 0⃗. Отложим a⃗ и b⃗ от точки O: они лежат в некоторой плоскости, проходящей через O (через две пересекающиеся прямые или через одну прямую проходит плоскость). Нулевой вектор — это точка O, она в той же плоскости. Значит, векторы компланарны.
3. б) Пусть a⃗ и b⃗ коллинеарны. Отложим все три вектора от точки O: a⃗ и b⃗ лежат на одной прямой l, проходящей через O, а p⃗ — на некоторой прямой через O. Через прямую l и вторую прямую (или через l, если p⃗ ей коллинеарен) проходит плоскость, содержащая все три вектора. Значит, они компланарны.