Условие
На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃, причём A₁A₂⃗ = k·A₁A₃⃗ и B₁B₂⃗ = k·B₁B₃⃗. Докажите, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ параллельны некоторой плоскости.
Разбор задания
Номер 626 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Выразим A₂B₂⃗ и A₃B₃⃗ через A₁B₁⃗: A₂B₂⃗ = A₂A₁⃗ + A₁B₁⃗ + B₁B₂⃗ = A₁B₁⃗ + k(B₁B₃⃗ − A₁A₃⃗); A₃B₃⃗ = A₃A₁⃗ + A₁B₁⃗ + B₁B₃⃗ = A₁B₁⃗ + (B₁B₃⃗ − A₁A₃⃗).
- Обозначим v⃗ = B₁B₃⃗ − A₁A₃⃗. Тогда A₃B₃⃗ = A₁B₁⃗ + v⃗ и A₂B₂⃗ = A₁B₁⃗ + k·v⃗ = A₁B₁⃗ + k(A₃B₃⃗ − A₁B₁⃗) = (1 − k)A₁B₁⃗ + k·A₃B₃⃗.
- Вектор A₂B₂⃗ разложен по векторам A₁B₁⃗ и A₃B₃⃗, значит, три вектора компланарны. Отложив их от одной точки, получим плоскость, которой параллельны все три прямые A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →