Номер 627 — Геометрия 11 класс

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = AD = a, AA₁ = 2a. В вершинах B₁ и D₁ помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости электрического поля: а) в точке A₁; б) в точке C; в) в центре грани A₁B₁C₁D₁; г) в центре грани ABCD.

1. Напряжённость поля точечного заряда q на расстоянии r равна kq/r² и направлена вдоль прямой от заряда; результирующая напряжённость — векторная сумма. Направим оси: AB — ось x, AD — ось y, AA₁ — ось z, тогда A(0; 0; 0), B₁(a; 0; 2a), D₁(0; a; 2a).
2. а) Точка A₁(0; 0; 2a). От заряда 2q в A: расстояние 2a, E₁ = 2kq/(4a²) = kq/(2a²), направление вверх по оси z. От q в B₁: расстояние a, E₂ = kq/a² вдоль −x. От q в D₁: E₃ = kq/a² вдоль −y. Три вектора взаимно перпендикулярны: E² = (kq/a²)²(¼ + 1 + 1) = (9/4)(kq/a²)², E = 3kq/(2a²).
3. б) Точка C(a; a; 0). От A: расстояние AC = a√2, E₁ = 2kq/(2a²) = kq/a², направление AC⃗/|AC| = (1/√2; 1/√2; 0). От B₁: расстояние √(a² + 4a²) = a√5, E₂ = kq/(5a²), направление (0; 1; −2)/√5. От D₁: E₃ = kq/(5a²), направление (1; 0; −2)/√5. Сумма в единицах kq/a²: x = 1/√2 + 1/(5√5), y = 1/√2 + 1/(5√5), z = −4/(5√5). E² = 2(1/√2 + 1/(5√5))² + 16/125 = 1 + 4/(5√10) + 2/125 + 16/125 = (143 + 10√10)/125. E = kq/a² · √(143 + 10√10)/(5√5) ≈ 1,18·kq/a².
4. в) Центр O₁ верхней грани: до B₁ и D₁ расстояния равны (a/√2), а направления противоположны (O₁ — середина диагонали B₁D₁), поэтому их поля взаимно уничтожаются. Остаётся поле заряда 2q: AO₁ = √(a²/2 + 4a²) = 3a/√2, E = 2kq/(9a²/2) = 4kq/(9a²).
5. г) Центр O нижней грани: от A расстояние a/√2, E₁ = 2kq/(a²/2) = 4kq/a², направление горизонтальное (вдоль AC). От B₁ и D₁: расстояние √(a²/2 + 4a²) = 3a/√2, каждое поле E₂ = 2kq/(9a²); их горизонтальные составляющие противоположны и уничтожаются, а вертикальные складываются: 2·E₂·(2a)/(3a/√2) = 2·(2kq/(9a²))·(2√2/3) = 8√2kq/(27a²), направлены вниз. E = kq/a² · √(16 + 128/729) = kq/a² · √(11792/729) = kq/a² · √(16·737)/27 = 4√737·kq/(27a²) ≈ 4,02·kq/a².