Условие
На трёх некомпланарных векторах p⃗ = AB⃗, q⃗ = AD⃗, r⃗ = AA₁⃗ построен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите по векторам p⃗, q⃗ и r⃗ векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
Разбор задания
Номер 629 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Диагонали параллелепипеда: AC₁, BD₁, CA₁, DB₁. По правилу параллелепипеда диагональ, выходящая из вершины, равна сумме трёх рёбер из этой вершины.
- AC₁⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AA₁⃗ = p⃗ + q⃗ + r⃗.
- BD₁⃗ = BA⃗ + BC⃗ + BB₁⃗ = −p⃗ + q⃗ + r⃗.
- CA₁⃗ = CB⃗ + CD⃗ + CC₁⃗ = −q⃗ − p⃗ + r⃗.
- DB₁⃗ = DA⃗ + DC⃗ + DD₁⃗ = −q⃗ + p⃗ + r⃗.
- Противоположно направленные диагонали (C₁A⃗, D₁B⃗, A₁C⃗, B₁D⃗) получаются умножением на −1.
Ответ
AC₁⃗ = p⃗ + q⃗ + r⃗; BD₁⃗ = −p⃗ + q⃗ + r⃗; CA₁⃗ = −p⃗ − q⃗ + r⃗; DB₁⃗ = p⃗ − q⃗ + r⃗ (и противоположные им).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →