Номер 643 — Геометрия 11 класс

Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

1. Пусть a⃗{x₁; y₁; z₁} и b⃗{x₂; y₂; z₂}, то есть a⃗ = x₁i⃗ + y₁j⃗ + z₁k⃗, b⃗ = x₂i⃗ + y₂j⃗ + z₂k⃗.
2. По законам сложения векторов и умножения на число: a⃗ + b⃗ = (x₁i⃗ + x₂i⃗) + (y₁j⃗ + y₂j⃗) + (z₁k⃗ + z₂k⃗) = (x₁ + x₂)i⃗ + (y₁ + y₂)j⃗ + (z₁ + z₂)k⃗.
3. Разложение по некомпланарным векторам i⃗, j⃗, k⃗ единственно, поэтому координаты суммы равны {x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂}.
4. Для разности: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−1)b⃗, а вектор (−1)b⃗ имеет координаты {−x₂; −y₂; −z₂}. По доказанному a⃗ − b⃗ = {x₁ − x₂; y₁ − y₂; z₁ − z₂}.