Условие
Даны точки A(1; 0; k), B(−1; 2; 3) и C(0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является равнобедренным?
Разбор задания
Номер 672 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- AB² = 4 + 4 + (3 − k)² = 8 + (3 − k)²; AC² = 1 + 0 + (k − 1)² = 1 + (k − 1)²; BC² = 1 + 4 + 4 = 9.
- AB = AC: 8 + 9 − 6k + k² = 1 + k² − 2k + 1, откуда 15 = 4k, k = 3,75.
- AB = BC: (3 − k)² = 1, k = 2 или k = 4.
- AC = BC: (k − 1)² = 8, k = 1 ± 2√2.
- При всех найденных k точки не лежат на одной прямой (AB⃗{−2; 2; 3 − k} и AC⃗{−1; 0; 1 − k} не коллинеарны из-за второй координаты), так что треугольник существует.
Ответ
k = 2; 4; 3,75; 1 + 2√2; 1 − 2√2.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →