Условие
Даны точки A(−1; 2; 3), B(−2; 1; 2) и C(0; −1; 1). Найдите точку, равноудалённую от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Oxy; б) Oyz; в) Ozx.
Разбор задания
Номер 675 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- а) M(x; y; 0). MA² = (x + 1)² + (y − 2)² + 9, MB² = (x + 2)² + (y − 1)² + 4, MC² = x² + (y + 1)² + 1. Из MA² = MB²: 2x − 4y + 14 = 4x − 2y + 9, то есть x + y = 2,5. Из MA² = MC²: 2x − 4y + 14 = 2y + 2, то есть x − 3y = −6. Вычитая, 4y = 8,5, y = 17/8, x = 3/8.
- б) M(0; y; z). MA² = 1 + (y − 2)² + (z − 3)², MB² = 4 + (y − 1)² + (z − 2)², MC² = (y + 1)² + (z − 1)². Из MA² = MB²: −4y − 6z + 14 = −2y − 4z + 9, то есть y + z = 2,5. Из MA² = MC²: −4y − 6z + 14 = 2y − 2z + 2, то есть 3y + 2z = 6. Подставляя y = 2,5 − z: 7,5 − z = 6, z = 1,5, y = 1.
- в) M(x; 0; z). MA² = (x + 1)² + 4 + (z − 3)², MB² = (x + 2)² + 1 + (z − 2)², MC² = x² + 1 + (z − 1)². Из MA² = MB²: 2x − 6z + 14 = 4x − 4z + 9, то есть x + z = 2,5. Из MA² = MC²: 2x − 6z + 14 = −2z + 2, то есть x − 2z = −6. Вычитая, 3z = 8,5, z = 17/6, x = −⅓.
- Проверка: в п. а) MA² = MB² = MC² = 10,90625; в п. б) — 4,25; в п. в) — 161/36.
Ответ
а) (3/8; 17/8; 0); б) (0; 1; 1,5); в) (−⅓; 0; 17/6).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →