Условие
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами: а) B₁B⃗ и B₁C⃗; б) DA⃗ и B₁D₁⃗; в) A₁C₁⃗ и A₁B⃗; г) BC⃗ и AC⃗; д) BB₁⃗ и AC⃗; е) B₁C⃗ и AD₁⃗; ж) A₁D₁⃗ и BC⃗; з) AA₁⃗ и C₁C⃗.
Разбор задания
Номер 682 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Угол между векторами не меняется при замене вектора на равный ему (сонаправленный той же длины), а при замене на противоположный заменяется на смежный.
- а) Векторы отложены от B₁: угол BB₁C = 45° (BB₁C — равнобедренный прямоугольный треугольник).
- б) DA⃗ = D₁A₁⃗, поэтому искомый угол равен углу между D₁A₁⃗ и B₁D₁⃗, то есть 180° − ∠A₁D₁B₁ = 180° − 45° = 135°.
- в) Отложены от A₁: треугольник A₁C₁B равносторонний (стороны — диагонали граней), угол 60°.
- г) BC⃗ = AD⃗, угол между AD⃗ и AC⃗ равен ∠DAC = 45°.
- д) BB₁⃗ = AA₁⃗, а AA₁ ⟂ плоскости ABC, поэтому угол 90°.
- е) B₁C⃗ = A₁D⃗, а диагонали A₁D и AD₁ квадрата AA₁D₁D перпендикулярны: 90°.
- ж) A₁D₁⃗ = BC⃗ — одинаковые векторы, угол 0°.
- з) AA₁⃗ = CC₁⃗ = −C₁C⃗ — противоположные векторы, угол 180°.
Ответ
а) 45°; б) 135°; в) 60°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) 0°; з) 180°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →