Условие
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a, точка O₁ — центр грани A₁B₁C₁D₁. Вычислите скалярное произведение векторов: а) AD⃗ и B₁C₁⃗; б) AC⃗ и C₁A₁⃗; в) D₁B⃗ и AC⃗; г) BA₁⃗ и BC₁⃗; д) A₁O₁⃗ и A₁C₁⃗; е) D₁O₁⃗ и B₁O₁⃗; ж) BO₁⃗ и C₁B⃗.
Разбор задания
Номер 684 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a), B₁(a; 0; a), C₁(a; a; a), D₁(0; a; a), O₁(a/2; a/2; a). Скалярное произведение — сумма произведений координат.
- а) AD⃗{0; a; 0}·B₁C₁⃗{0; a; 0} = a². б) AC⃗{a; a; 0}·C₁A₁⃗{−a; −a; 0} = −2a².
- в) D₁B⃗{a; −a; −a}·AC⃗{a; a; 0} = a² − a² = 0. г) BA₁⃗{−a; 0; a}·BC₁⃗{0; a; a} = a².
- д) A₁O₁⃗{a/2; a/2; 0}·A₁C₁⃗{a; a; 0} = a²/2 + a²/2 = a². е) D₁O₁⃗{a/2; −a/2; 0}·B₁O₁⃗{−a/2; a/2; 0} = −a²/4 − a²/4 = −a²/2.
- ж) BO₁⃗{−a/2; a/2; a}·C₁B⃗{0; −a; −a} = −a²/2 − a² = −3a²/2.
Ответ
а) a²; б) −2a²; в) 0; г) a²; д) a²; е) −a²/2; ж) −1,5a².
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →